Tại sao định giá khi xác định FOL?

Tại sao người ta cần định giá để xác định ngữ nghĩa của logic thứ nhất? Tại sao không chỉ định nghĩa nó cho câu và cũng xác định thay thế công thức (theo cách anh ấy mong đợi). Thế là đủ:

thay vì

Hoàn toàn có thể định nghĩa sự hài lòng khi chỉ sử dụng các câu như bạn đề xuất, và trên thực tế, nó từng là cách tiếp cận tiêu chuẩn trong một thời gian khá dài.

Hạn chế của phương pháp này là nó đòi hỏi phải trộn đối tượng ngữ nghĩa vào cú pháp: để làm cho một định nghĩa quy nạp đủ câu trong một mô hình , nó không phải là đủ để định nghĩa nó cho câu của ngôn ngữ ban đầu của M . Trước tiên, bạn cần mở rộng ngôn ngữ với các hằng số riêng lẻ cho tất cả các thành phần của miền M và sau đó bạn có thể xác định mức độ hài lòng cho các câu trong ngôn ngữ mở rộng. Đây là, tôi tin rằng, lý do chính tại sao phương pháp này đã đi vào sử dụng; nếu bạn sử dụng định giá, bạn có thể duy trì sự phân biệt khái niệm rõ ràng giữa các công thức cú pháp của ngôn ngữ gốc và các thực thể ngữ nghĩa được sử dụng để mô hình hóa chúng.$M$$M$$M$

Ý nghĩa của một công thức khép kín là một giá trị thật hoặc ⊤ . Ý nghĩa của công thức chứa biến tự do x nằm trong tập A là hàm từ A đến giá trị thật. Chức năng Một → { ⊥ , ⊤ } tạo thành một đại số Boolean hoàn chỉnh, vì vậy chúng tôi có thể interpet first-order logic trong nó.$\bot$$\top$$x$$A$$A$$A \to \lbrace \bot, \top \rbrace$

Tương tự, một thuật ngữ đóng biểu thị một phần tử của một số miền D , trong khi một thuật ngữ có biến tự do biểu thị một hàm D → D vì phần tử này phụ thuộc vào giá trị của biến.$t$$D$$D \to D$

Do đó, tự nhiên để giải thích một công thức với các biến miễn phí x 1 , ... , x n trong hoàn Boolean algebra D n → { ⊥ , ⊤ } nơi D là lĩnh vực phạm vi của biến. Cho dù bạn diễn đạt cách giải thích trong đại số Boolean hoàn chỉnh này về mặt định giá hay nói cách khác là một vấn đề kỹ thuật.$\phi(x_1, \ldots, x_n)$$x_1, \ldots, x_n$$D^n \to \lbrace{\bot, \top\rbrace}$$D$

Các nhà toán học dường như thường bối rối về các biến miễn phí. Họ nghĩ rằng họ được định lượng toàn cầu hoặc một số như vậy. Nguyên nhân của điều này là một định lý meta nói rằng có thể chứng minh được khi và chỉ khi đóng phổ quát của nó ∀ x . φ ( x ) là chứng minh. Nhưng có nhiều công thức hơn khả năng chứng minh của họ. Ví dụ, φ ( x ) là không thường tương đương với ∀ x . φ ( x ) , vì vậy chúng tôi chắc chắn không thể giả vờ rằng hai công thức đây là những hoán đổi cho nhau.$\phi(x)$$\forall x . \phi(x)$$\phi(x)$$\forall x . \phi(x)$

Để tóm tắt:

• công thức với các biến miễn phí là không thể tránh khỏi, ít nhất là trong logic thứ nhất thông thường,
• ý nghĩa của một công thức với một biến miễn phí là một hàm chân lý ,
• do đó trong ngữ nghĩa chúng tôi buộc phải xem xét hoàn Boolean đại số , đó là nơi định giá đến từ đâu,$D^n \to \lbrace\bot, \top\rbrace$
• việc đóng công thức chung không tương đương với công thức ban đầu,
• thật sai lầm khi đánh đồng ý nghĩa của một công thức với ý nghĩa của việc đóng cửa phổ quát của nó, giống như việc đánh đồng một hàm với tên miền của nó là một sai lầm.

Đơn giản là vì tự nhiên hơn khi nói " là đúng khi x là π " (nghĩa là trên một định giá gửi x đến π ) so với " x > 2 là đúng khi chúng ta thay thế π (chính số đó, chứ không phải Hy ​​Lạp chữ cái) cho x ". Về mặt kỹ thuật các phương pháp là tương đương.$x > 2$$x$$\pi$$x$$\pi$$x > 2$$\pi$$x$

Tôi muốn củng cố câu trả lời của Alexey và cho rằng lý do là định nghĩa đầu tiên gặp phải những khó khăn kỹ thuật , và không chỉ cách thứ hai (tiêu chuẩn) là tự nhiên hơn.

Quan điểm của Alexy là cách tiếp cận đầu tiên, tức là:

$M \models \forall x . \phi \iff$cho tất cả các : M ⊨ φ [ x ↦ d $d \in M$$M \models \phi[x\mapsto d]$

trộn cú pháp và ngữ nghĩa.

Ví dụ: hãy lấy ví dụ của Alexey:

${(0,\infty)} \models x > 2$

$(0,\infty) \models \pi > 2$

$\pi > 2$$\pi$$M$$\pi \approx 3.141\ldots$

$M\models\sqrt[15]{15,000,000} > 2$$\sqrt{}$$15$$15,000,000$

Để ram điểm nhà, hãy xem xét những gì xảy ra khi mô hình chúng tôi trình bày có cấu trúc phức tạp hơn. Ví dụ, thay vì lấy số thực, hãy thực hiện các phép cắt Dedekind (một cách thực hiện cụ thể của các số thực).

$(A,B)$

$({q \in \mathbb Q | q < 0 \vee q^2 < 5}, {q \in \mathbb Q | 0 \leq q \wedge q^2 > 5}) > 2$$\sqrt{5}$$x > 2$

$[ x \mapsto t]: Terms \to Terms$

Có thể bạn sẽ có thể vượt qua những kỹ thuật này, nhưng tôi đoán bạn sẽ phải làm việc rất chăm chỉ.

Cách tiếp cận tiêu chuẩn giữ sự phân biệt giữa cú pháp và ngữ nghĩa. Những gì chúng ta thay đổi là định giá, một thực thể ngữ nghĩa và giữ công thức cú pháp.