Độ phân giải / thuật toán để kiểm tra tính phổ quát của bộ cổng lượng tử

Cho một tập hợp hữu hạn các cổng lượng tử , liệu có thể quyết định (theo nghĩa lý thuyết tính toán) liệu có phải là một bộ cổng phổ quát không? Một mặt, các bộ cổng "gần như tất cả" là phổ quát, mặt khác, các bộ cổng không phổ quát vẫn chưa được hiểu rõ (đặc biệt, tất nhiên, không biết liệu mọi bộ cổng không phổ quát có thể mô phỏng theo kiểu cổ điển hay không), vì vậy tôi tưởng tượng việc đưa ra một thuật toán rõ ràng để kiểm tra tính phổ quát có thể là không cần thiết. $\mathcal{G} = \{G_1, \dots, G_n\}$ $\mathcal{G}$

quantum-computing

— Marcin
nguồn

Bạn có thể làm rõ câu hỏi? Câu trả lời của Joe cho rằng bạn có một số lượng qubit cố định và tất cả các cổng hoạt động trên những cái đó, nhưng đối với tính phổ quát, chúng ta thường cho rằng các cổng có thể hoạt động trên bất kỳ tập hợp các qubit nào. Ví dụ: CNOT + tất cả các cổng một qubit không phổ biến nếu các cổng một qubit chỉ có thể hoạt động trên qubit đầu tiên và CNOT chỉ từ qubit 1 đến qubit 2. Trong trường hợp sau, chúng ta có thể muốn ngoại suy thành nhiều qubit để có được tính phổ quát. Trong trường hợp đó, tôi nghĩ rằng anwer có thể không rõ.

@DanielGottesman: Tôi đồng ý về những hạn chế trong câu trả lời của tôi. Thật vậy, tôi tin rằng điều này là không thể giải quyết được trong trường hợp sau như sau: Lấy một máy tự động di động trên một mạng qubit vô hạn và sử dụng nó để mã hóa vấn đề tạm dừng (gọi bản cập nhật này là đơn vị ). Sau đó lấy một mạng thứ hai với QCA phổ quát (với bản cập nhật đơn nhất ). Chúng ta có thể định nghĩa một đơn vị mới , trong đó chỉ số biểu thị một qubit được đặt thành iff ô đầu tiên automata dừng lại.

U_{1}

$U_1$

U_{2}

$U_2$

C U_{2} = | 0 ⟩ ⟨ 0 |_{H} \otimes I + | 1 ⟩ ⟨ 1 | \otimes U_{2}

$CU_2 = |0\rangle\langle0|_H\otimes I + |1\rangle\langle1|\otimes U_2$

H

$H$

| 1 ⟩

$|1\rangle$

— Joe Fitzsimons

Do đó, cổng là phổ quát khi và chỉ khi máy Turing đầu tiên tạm dừng và do đó không thể sử dụng được.

C U_{2} \times U_{1}

$CU_2 \times U_1$

— Joe Fitzsimons

Đối với trường hợp của người Hamilton, thay vì cổng, câu trả lời là có tầm thường: bạn chỉ cần liệt kê các yếu tố độc lập của đại số Lie. Vì đại số Lie là một không gian vectơ có thêm toán tử khung Lie. Vì không gian là hữu hạn, nó có một cơ sở hữu hạn và có thể dễ dàng kiểm tra xem nó được đóng hay mở trong hoạt động của khung Lie. Chỉ cần kiểm tra khung Lie của tất cả các cặp toán tử trực giao có thể được thực hiện theo đa thức thời gian theo chiều của không gian và có thể tìm thấy cơ sở toán tử phù hợp bằng phương pháp Gram-Schmidt.

Đối với các cổng, bạn không thực sự có cùng một lựa chọn để sử dụng các infinitesimals ngay lập tức và cần xây dựng các cổng với các giá trị riêng không hợp lý để bạn có thể tùy ý xấp xỉ các máy phát vô hạn cần thiết. Tôi đoán rằng có một cách tương đối đơn giản để làm điều này, nhưng nó không rõ ràng ngay lập tức với tôi.

Trong mọi trường hợp, lấy nhật ký của các cổng để có được một tập hợp các toán tử tạo ra chúng khi lũy thừa và kiểm tra xem những cái này có tạo ra đại số Lie đầy đủ sẽ cung cấp một tiêu chí cần thiết đơn giản nhưng không đủ cho tính phổ quát.

— Joe Fitzsimons
nguồn

Tại sao chúng ta chỉ nên kiểm tra các cặp?

— Alex 'qubeat'

@AlexV: Bởi vì khung Lie hoạt động trên 2 đầu vào. Mỗi khi bạn tạo ra một toán tử độc lập tuyến tính mới, bạn tạo một toán tử trực giao và lặp lại cho đến khi bạn đóng được.

— Joe Fitzsimons

Ý tôi là bạn nên xem xét , nhưng không chỉ các cặp, ví dụ: xem bài viết của riêng tôi arxiv.org/abs/quant-ph/0010071

[\dots [H_{k}, H_{j}], H_{l}], \dots]

$[\ldots[H_k,H_j],H_l],\ldots]$

— Alex 'qubeat'

@AlexV: Bạn không cần. Đó là một không gian vectơ, vì vậy một vectơ trực giao với một không gian con nhất định khi và chỉ khi nó trực giao với bất kỳ cơ sở nào cho không gian con đó.

— Joe Fitzsimons

Có khả năng chúng ta đang nói về những điều khác nhau - bạn đang nói về không gian vectơ nào? Bạn không biết ngay từ đầu, tập hợp con được tạo bởi các cổng của bạn - bạn cần xây dựng nó từ người Hamilton đã cho để kiểm tra xem có phải toàn bộ đại số Lie không.

— Alex 'qubeat'