Một bằng chứng trực quan hơn của định lý Khu vực?

Định lý Vùng nói rằng nếu chúng ta sắp xếp một n dòng với một dòng khác, thì tổng độ phức tạp của vùng đó , tập hợp tất cả các mặt 0-, 1- và 2 liền kề với nó, là O (n). Hằng số thực tế là ít nhất là 6n như đã nêu trong các sách giáo khoa khác nhau, và bằng chứng là bằng cảm ứng với một đối số tính phí hợp lý cẩn thận.

Tôi đã được hỏi câu hỏi này trong lớp và không có câu trả lời:

Có một bằng chứng thay thế, trực quan hơn về định lý Vùng không?

Bây giờ tôi nhận ra rằng nhiều người thấy cảm ứng khá trực quan và sẽ bị xúc phạm bởi hàm ý của tôi, và sẵn sàng sửa đổi những điều trên thành chỉ "thay thế" cho họ. Nhưng có bằng chứng nào như vậy không? Hay thậm chí là một bằng chứng từ cuốn sách ?

Điều này không sạch hơn, nhưng nó là một sự chuẩn bị tốt cho những thứ cao cấp hơn, và nó là một ví dụ tốt về sự trừu tượng ...

Người ta có thể sử dụng đối số trình tự Davenport-Schinzel. Xem xét các khu vực trên dòng khu vực của bạn. Mỗi dòng trở thành một tia, và trên thực tế là hai tia, vì chúng ta coi bên trái và bên phải là khác nhau. Quét ranh giới của khu vực này từ trái sang phải, viết ra những tia bạn gặp phải. Đây là một chuỗi được xác định trên 2n ký hiệu và abab mẫu là bất hợp pháp. Như vậy, độ dài của chuỗi nhiều nhất là 2 (2n) -1 = 4n - 1. Áp dụng nó cho khu vực bên dưới dòng, ngụ ý ràng buộc của mẫu 8n.

Bây giờ, việc chứng minh rằng một chuỗi các ký hiệu không có ... a..b..a..b ... vì một chuỗi các ký hiệu n có độ dài 2n-1 là dễ dàng. thật vậy, hãy xem xét hai lần xuất hiện liên tiếp của cùng một nhân vật gần nhau nhất trong chuỗi này. Rõ ràng, ở giữa hai nhân vật này, mỗi nhân vật xuất hiện phải là duy nhất. Xem xét một ký tự như vậy và quan sát rằng nếu nó xuất hiện ở bất kỳ nơi nào khác trong chuỗi, thì chúng ta sẽ nhận được chuỗi bị cấm. Như vậy, ký tự này xuất hiện chính xác một lần trong chuỗi. Xóa nó và xóa một ký tự phụ nếu cần nếu bạn tạo hai ký tự giống nhau liên tiếp. Cụ thể, loại bỏ một ký tự khỏi chuỗi rút ngắn nó xuống 2, như vậy, độ dài tối đa của chuỗi là 2n-1.

Tôi thấy cảm ứng khá trực quan và bị xúc phạm bởi hàm ý của bạn. Nhưng đối số tính phí là gì?

Wlog giả sử đường xác định vùng nằm ngang (xoay khác) và các đường ở vị trí chung (khác nhiễu loạn và làm cho vùng phức tạp hơn). Loại bỏ một trong n dòng khác. Phân loại các cạnh của vùng kết quả là ranh giới bên trái hoặc bên phải, tùy thuộc vào khu vực đó là bên phải hoặc bên trái của họ, tương ứng. (Một số cạnh có cả ranh giới bên trái và bên phải, nhưng chúng được tính hai lần trong giới hạn phức tạp.) Theo giả thuyết quy nạp, có nhiều nhất là 3n-3 ranh giới bên trái. (Trường hợp cơ sở n = 0 là tầm thường.) Xác nhận lại dòng đã xóa thêm tối đa 3 ranh giới bên trái (một trên chính dòng đó và hai từ tách ranh giới bên trái cũ hơn). Do đó, tổng số ranh giới bên trái nhiều nhất là 3n. Đối xứng, số lượng ranh giới bên phải nhiều nhất là 3n, do đó tổng độ phức tạp của khu vực nhiều nhất là 6n.

Bằng chứng bằng một đối số tính phí được đặt ra như một bài tập (cùng với các gợi ý từng bước) trên trang 13 của tài liệu về lớp hình học tính toán của David Mount: http://www.cs.umd.edu/ class / fall2005 / cmsc754 / Handouts / cmsc754-handouts.pdf