Bộ cổng phổ quát cho SU (3)?

Trong điện toán lượng tử, chúng ta thường quan tâm đến các trường hợp trong đó nhóm các toán tử đơn vị đặc biệt, G, đối với một số hệ thống d chiều cung cấp cho cả nhóm SU (d) chính xác hoặc thậm chí chỉ là một xấp xỉ được cung cấp bởi một lớp phủ dày đặc của SU (d).

Một nhóm có thứ tự hữu hạn, chẳng hạn như nhóm Clifford cho hệ thống chiều C (d), sẽ không bao phủ dày đặc. Một nhóm trật tự vô hạn sẽ không bao phủ dày đặc nếu nhóm đó là Abelian. Tuy nhiên, trực giác thô sơ của tôi là một số lượng vô hạn các cổng và hoạt động thay đổi cơ sở của nhóm Clifford nên đủ để cung cấp một lớp phủ dày đặc.

Chính thức, câu hỏi của tôi là:

Tôi có một nhóm G là một nhóm con của SU (d). G có thứ tự vô hạn và C (d) là một nhóm con của G. Do tất cả các G như vậy cung cấp một lớp phủ dày đặc của SU (d).

Lưu ý rằng tôi đặc biệt quan tâm đến trường hợp khi d> 2.

Tôi lấy nhóm Clifford theo định nghĩa ở đây: http://arxiv.org/abs/quant-ph/9802007

Đây không phải là một câu trả lời hoàn chỉnh, nhưng có lẽ nó đi theo một cách nào đó để trả lời câu hỏi.

Vì $G$ có thứ tự vô hạn nhưng thì không, nên G nhất thiết phải chứa một cổng nhóm không phải là Clifford. Tuy nhiên G có C ( d ) là một nhóm con. Nhưng với d = 2 , nhóm Clifford cộng với bất kỳ cổng nào khác không thuộc nhóm Clifford là xấp xỉ phổ quát (xem ví dụ Định lý 1ở đây). Do đó, tất cả các G như vậycung cấp lớp phủ dày đặc trên S U ( 2 n ) .$C(d)$$G$$G$$C(d)$$d=2$$G$$SU(2^n)$

Đối với trường hợp có vẻ như có thể chứng minh rằng bạn vẫn nhận được bìa dày đặc dọc theo các dòng sau (sử dụng ký hiệu của bài báo được liên kết trong câu hỏi):$d>2$

1. Như tất cả các cửa trong là đơn nhất, tất cả các giá trị riêng của họ là gốc rễ của sự hiệp nhất, mà vì đơn giản tôi sẽ parameterize bởi góc độ thực 0 ≤ q i < 2 π .$G$$0 \leq \theta_i < 2\pi$
2. Như có trật tự vô hạn, hoặc G chứa cửa mà ít nhất một giá trị θ k là bội vô lý của π hoặc chứa một xấp xỉ tùy tiện tốt để bội vô lý như vậy của π . Hãy để chúng tôi chỉ định một cổng như vậy g .$G$$G$$\theta_k$$\pi$$\pi$$g$
3. Sau đó tồn tại một sao cho g n gần tùy ý, nhưng không bằng danh tính.$n$$g^n$
4. Vì là đơn vị nên nó có thể được viết là exp ( - i H ) .$g^n$$\exp(-iH)$
5. Kể từ khi nhóm Pauli theo quy định tại Quant-ph / 9802007 hình thức cơ sở cho ma trận, bạn có thể viết H = Σ d - 1 j , k = 0 α j k X j d Z k d , nơi α j k ∈ C và | α j k | ≤ ε cho bất kỳ ε > 0 (bởi [3]), có ít nhất một ví dụ α một $d \times d$$H = \sum_{j,k = 0}^{d-1}\alpha_{jk} X_d^j Z_d^k$$\alpha_{jk} \in \mathbb{C}$$|\alpha_{jk}|\leq \epsilon$$\epsilon > 0$$\alpha_{ab}$ không bằng không.
6. Sau đó chúng ta có thể chọn một phần tử từ nhóm Clifford ánh xạ X j d Z k d đến Z d theo cách chia. Do đó C g n C † = exp ( - i C H C † ) = exp ( - i ( α một b Z d + Σ ( j , k ) ≠ ( một , b ) α $C$$X_d^j Z_d^k$$Z_d$, nơiα'chỉ là một hoán vị củaαvàalphamộtb=α ' 01 .$C g^n C^\dagger = \exp(-iCHC^\dagger) = \exp(-i(\alpha_{ab}Z_d + \sum_{(j, k) \neq (a,b)} \alpha'_{jk} X_d^j Z_d^k))$$\alpha'$$\alpha$$\alpha_{ab} = \alpha'_{01}$
7. Lưu ý rằng thỏa mãn Z d ( X u d Z v d ) = ω u ( X u d Z v d ) Z d . Chúng ta hãy xác định g ℓ = Z - ℓ d C g n C † Z ℓ d = exp ( - i ( α một b Z d + Σ ( $Z_d$$Z_d (X_d^u Z_d^v) = \omega^{u} (X_d^u Z_d^v) Z_d$.$g_\ell = Z_d^{-\ell} C g^n C^\dagger Z_d^{\ell} = \exp(-i(\alpha_{ab}Z_d + \sum_{(j, k) \neq (a,b)} \omega^{j\ell} \alpha'_{jk} X_d^j Z_d^k))$
8. Theo định lý Baker-Cambel-Hausdorff, vì tất cả các đã được tạo ra một cách tùy ý gần với danh tính, chúng ta có thể đánh giá sản phẩm của g ′ = g 1 × . . . × g d để đặt hàng đầu tiên như exp ( - i ( d × ( Σ k α 0 k Z k ) + ( Σ d ℓ = 1 ω d ) × Σ j ≠ 0 Σ k $\alpha$$g' = g_1 \times ... \times g_d$. Tổng hợp trên tất cả các tuyến đường của sự đoàn kết, chod>1sản lượng g ' =exp(-i(d×( Σ k ≠ b α 0 k Z k )). Đây là cơ bản là một chuỗi tách mà tách riêng các yếu tố phi chéo.$\exp(-i(d\times(\sum_{k} \alpha_{0k} Z^k) + (\sum_{\ell = 1}^d \omega^d)\times\sum_{j \neq 0}\sum_k \alpha_{jk}X_d^j Z_d^k))$$d>1$$g' = \exp(-i(d\times(\sum_{k\neq b} \alpha_{0k} Z^k))$
9. Như chỉ ma trận đường chéo còn lại trong mũ, phải đường chéo. Hơn nữa do sự hạn chế đối với α ' nó nhất thiết phải có giá trị riêng mà là khác không nhưng tỉ lệ với ε .$g'$$\alpha'$$\epsilon$
10. Bằng cách thay đổi và lặp lại quá trình trên chúng ta có thể để tạo ra d tuyến tính cửa độc lập: g ' 1 . . . g ′ d , sao cho sản phẩm của họ dẫn đến một cổng chéo với các pha không hợp lý và không chính xác hoặc một xấp xỉ gần đúng tùy ý với một.$\epsilon$$d$$g'_1 ... g'_d$
11. Bằng cách tham chiếu được đưa ra trong câu trả lời của Mark Howard, cùng với nhóm Clifford, sẽ đủ cho tính phổ quát gần đúng.

Tôi tin rằng câu trả lời cho câu hỏi ban đầu có lẽ là có, nhưng thật không may, tôi không thể nói điều đó một cách dứt khoát. Tuy nhiên, tôi có thể giúp trả lời câu hỏi mở rộng của Peter.

Trong toán học / 0001038, bởi Nebe, Rains và Sloane, họ cho thấy nhóm Clifford là một nhóm con hữu hạn tối đa của U (2 ^ n). Solovay cũng đã cho thấy điều này trong công việc chưa được công bố rằng "về cơ bản sử dụng phân loại các nhóm đơn giản hữu hạn". Nebe và cộng sự. bài viết cũng cho thấy nhóm quordit Clifford là một nhóm con hữu hạn tối đa cho nguyên tố p, cũng sử dụng phân loại các nhóm hữu hạn. Điều này có nghĩa là nhóm Clifford cộng với bất kỳ cổng nào là một nhóm vô hạn, điều này làm cho một trong những giả định của câu hỏi ban đầu trở nên dư thừa.

Bây giờ, cả Rains và Solovay đều nói với tôi rằng bước tiếp theo, cho thấy một nhóm vô hạn có chứa nhóm Clifford là phổ quát, tương đối đơn giản. Tuy nhiên, tôi không biết bước đó thực sự hoạt động như thế nào. Và quan trọng hơn đối với câu hỏi ban đầu, tôi không biết liệu họ chỉ đang xem xét trường hợp qubit hay trường hợp qudit.

Trên thực tế, tôi có thể nói thêm rằng tôi không hiểu bằng chứng Nebe, Mưa và Sloane, nhưng muốn.

Tôi không rõ liệu bạn đang hỏi về SU (3) hay SU (3 n ) hành động trên một sản phẩm tenx của qudits. Tôi sẽ cho rằng bạn đang hỏi về SU (3). Tôi không rõ ràng (mặc dù những gì tôi đã nói trong phiên bản trước của câu trả lời của tôi) rằng tuyên bố cho SU (3) ngụ ý tuyên bố cho SU (3 n ).$^{n}$$^n$

Miễn là tập hợp các cổng không nằm trong một nhóm con của SU (3), nó sẽ tạo ra một lớp phủ dày đặc của SU (3). Vì vậy, bạn cần kiểm tra xem có bất kỳ nhóm con vô hạn nào của SU (3) có chứa nhóm Clifford không. Tôi khá chắc chắn rằng họ không, nhưng tôi không thể nói chắc chắn. Đây là một câu hỏi tràn toán học đưa ra tất cả các nhóm con Lie của SU (3).

Tôi nghĩ rằng tôi nên cập nhật chủ đề này trước khi trang web bị đóng băng mãi mãi.

Câu trả lời của Daniel là đúng dòng. "Bước tiếp theo" mà ông đề cập đến xuất hiện trong cuốn sách sau này của Nebe, Rains và Sloane, " Tự mã kép và lý thuyết bất biến ".

Do đó, câu trả lời cho câu hỏi này là "Có" - và nó xuất phát trực tiếp từ Hệ quả 6.8.2 trong cuốn sách của Nebe, Rains và Sloane.

Tôi biết ơn Vadym Kliuchnikov, người đã chỉ ra điều này cho tôi khi tôi đến thăm Waterloo.

Tôi nghĩ rằng bài báo sau đây có thể chứa các công trình liên quan để chứng minh tính phổ quát của qudit

http://dx.doi.org/10.1088/0305-4470/39/11/010

Cụ thể, nhận xét ở cuối phần nói rằng C Z pha điều khiển , biến đổi Fourier F và cổng chéo D với các pha không hợp lý và không chính xác mang lại tính phổ quát gần đúng. (Đây là điều kiện đủ trên D nhưng tôi khá chắc chắn đó không phải là điều kiện cần.)$4$$CZ$$F$$D$$D$

Nếu của bạn có dạng chính xác (và cổng chéo có vẻ là một lựa chọn tự nhiên) thì kết quả sẽ được áp dụng$G$

Một cách tiếp cận khác là tạo ra các trạng thái ancilla cần thiết để thực hiện quoffit Toffoli, hoặc trực tiếp sử dụng cùng với Cliffords để thực hiện Toffoli. Thật khó để nói liệu này là có thể mà không biết thêm về G .$G$$G$