Nhúng méo trung bình

11

$(X, d)$ $(Y, f)$ $\mu : X \rightarrow Y$ $\mu$

ρ = max_{p, q \in X} {\frac{d (x, y)}{f (μ (x), μ (y))}, \frac{f (μ (x), μ (y))}{d (x, y)}}

$\rho = \max_{p,q \in X} \{ \frac{d(x,y)}{f(\mu(x), \mu(y))}, \frac{f(\mu(x), \mu(y))}{d(x,y)} \}$

Có nhiều thước đo chất lượng khác: Dhamdhere et al nghiên cứu biến dạng "trung bình":

σ = \frac{\sum d (x, y)}{\sum f (μ (x), μ (y))} .

$\sigma = \frac{\sum d(x,y)}{\sum f(\mu(x), \mu(y))}.$

Tuy nhiên, biện pháp tôi quan tâm ở đây là biện pháp được sử dụng bởi các phương thức giống như MDS, xem xét lỗi phụ gia trung bình :

ε^{2} = \sum | d (x, y) - f (μ (x), μ (y)) |^{2}

$\varepsilon^2 = \sum | d(x,y) - f(\mu(x), \mu(y))|^2$

Mặc dù các phương pháp giống như MDS được nghiên cứu rộng rãi bên ngoài cộng đồng theoryCS, tôi chỉ biết một bài báo ( của Dhamdhere et al ) kiểm tra tối ưu hóa theo biện pháp này và điều đó cũng cho vấn đề hạn chế khi nhúng vào dòng ( ) (chú thích bên cạnh: Luận án MS năm 2005 của Tasos Sidiropoulos có một đánh giá tốt về công việc trước đó) $Y = \mathbb{R}$

Có công việc nào gần đây mà mọi người nhận thức được về việc phân tích chất lượng nghiêm ngặt theo khái niệm lỗi này không? Mặc dù những vấn đề này nói chung là NP-hard, nhưng điều tôi quan tâm hơn là xấp xỉ bất kỳ loại nào.

approximation-algorithms cg.comp-geom embeddings

— Suresh Venkat
nguồn

3

Đây là một câu hỏi hay. Tôi không biết về các thuật toán gần đúng, nhưng kết quả độ cứng đã biết để xấp xỉ biến dạng tối thiểu (và các vấn đề liên quan như ghi nhãn số liệu) cũng cho thấy khó gần đúng. $\epsilon^2$

Lý do là vì họ giảm được một vấn đề NP-hard sao cho trong trường hợp CÓ, biến dạng là và trong trường hợp KHÔNG, biến dạng là cho ít nhất một phần không đổi của các cạnh. Do đó, trong trường hợp CÓ sẽ là hệ số nhỏ hơn trong trường hợp KHÔNG. Để biết chi tiết, xem ví dụ bài báo của Khot-Saket: www.cs.cmu.edu/~rsaket/pub/approx.pdf $O(1)$ $\Omega(k)$ $\epsilon^2$ $k$

Tôi không chắc chắn chính xác yếu tố độ cứng nào xuất phát từ giấy của họ, nhưng không khó để tìm ra. (Tôi đoán ít nhất là yếu tố mà bạn nhận được cho ghi nhãn số liệu nên tuân theo.) $\log^c(n)$

— Moritz
nguồn

đó là một gợi ý tốt Tôi chắc chắn sẽ xem xét công việc ghi nhãn số liệu. Người ta biết rằng thậm chí nhúng vào dòng là MAX SNP-hard, nhưng sẽ rất thú vị (mặc dù đáng thất vọng) khi thấy kết quả mạnh mẽ hơn.

— Suresh Venkat

2

Tôi có thể đang thiếu một cái gì đó, nhưng tại sao ? Chúng tôi quan tâm đến việc xấp xỉ cộng, vì vậy chúng tôi không thể chia tỷ lệ để tạo cho tất cả , phải không? $\epsilon^2 \le (\rho-1)\sum d(x,y)^2$ $f(\mu(x), \mu(y)) \ge d(x,y)$ $x,y$

Một lợi thế ở đây là chúng ta có thể làm rất tệ với độ dài ngắn và cuối cùng vẫn ổn. Ngoài ra, vấn đề có dễ dàng (gần đúng, thậm chí) nếu, nói rằng chúng tôi muốn nhúng vào ? (chúng ta có thể viết một chương trình toán học để nắm bắt câu hỏi không?) $\ell_2$

— quảng cáo
nguồn

Điểm tốt. Tôi đã thay đổi câu trả lời của tôi.

— Moritz

nó phụ thuộc vào công thức. Nếu bạn đặt ra vấn đề là giảm thiểu cho không gian con mục tiêu có chiều cố định, thì các ràng buộc xếp hạng gây ra một số vấn đề. Nếu bạn sử dụng công thức "kiểu JL" (nghĩa là sửa lỗi và tìm đúng chiều), thì có thể có thể thực hiện được.

ϵ

$\epsilon$

— Suresh Venkat

Một đại lượng có thể hữu ích để "cạnh tranh" là . Hãy xem xét vấn đề nhúng vào (Tôi đã đề xuất trước đó, nhưng nó có sqrt lộn xộn). Chúng ta phải nhắm mục tiêu rõ ràng để có được các nhúng có là (theo nghĩa mơ hồ, điều này có nghĩa là chúng ta nhân với hầu hết các . cho, nói (const độ) mở rộng? (hoặc chứng minh điều đó là không thể?)

S := \sum d (x, y)^{2}

$S:= \sum d(x,y)^2$

ℓ_{1}

$\ell_1$

ℓ_{2}

$\ell_2$

ϵ^{2}

$\epsilon^2$

o (S)

$o(S)$

(1 + o (1))

$(1+o(1))$

x, y

$x,y$

— aditya