Biểu mẫu tổng thể và toán tử tổng

12

Tôi là một anh chàng quang học lượng tử hơn là một anh chàng thông tin lượng tử, và chủ yếu giải quyết các phương trình chính. Tôi quan tâm đến hình thức tổng toán tử và tôi muốn rút ra các lỗi trong biểu mẫu này cho một hệ thống lượng tử nhỏ mà tôi đang mô phỏng.

Bắt: Hệ thống lượng tử được điều khiển bởi trường bên ngoài (cổ điển) được mô hình hóa với chức năng hình sin và tốc độ giảm xóc thấp, vì vậy tôi không thể thực hiện xấp xỉ sóng xoay để loại bỏ sự phụ thuộc thời gian này. Vì tôi phải giải phương trình chính bằng số bằng cách tích hợp và kết quả của mỗi tích hợp tại thời điểm không đủ thông tin để tìm ra các lỗi này và tôi cần thực hiện một số công việc để khôi phục ma trận siêu hoạt động đã hoạt động trên mật độ vectơ ma trận. tức là tôi cung cấp cho phương trình chính một ma trận mật độ vectơ với một mục nhập duy nhất là 1 và phần còn lại bằng 0 và xây dựng ma trận như thế trong một thời gian cụ thể . Tôi có đang đi đúng hướng ở đây không (kiểm tra độ tỉnh táo)? Nói rõ hơn, nếu $t$ $\tau$ $\mathrm{vec}(\rho_{ij,t=\tau})$ là dạng vectơ (vì vậy nó là một vectơ cột) của một ma trận mật độ với một mục nhập 1 ở vị trí , tại đã được phát triển theo thời gian , sau đó là một ma trận để có dạng vectơ của ma trận mật độ từ đến được đưa ra là . $i,j$ $t=0$ $\tau$ $t=0$ $t=\tau$ $\mathbf{M}=\sum_{i,j}\mathrm{vec}(\rho_{ij,t=0})\mathrm{vec}(\rho_{ij,t=\tau})^\dagger$

Câu hỏi: Với superoperator này mà không , làm thế nào tôi có thể nhận được nhà khai thác Krauss cho tổng toán tử tương đương với ở dạng hữu ích? tức là hệ thống trong câu hỏi là một qubit hoặc một qutrit và một qubit hoặc qutrit khác. Tôi muốn có thể thực hiện tổng toán tử dưới dạng các sản phẩm tenxơ của ma trận quay trên mỗi kênh nếu có thể. $\mathbf{M}$ $\mathbf{M}\,\mathrm{vec}(\rho_0)=\mathrm{vec}(\rho_\tau)$ $\mathbf{M}$

Side câu hỏi: là một ma trận Choi? $\mathbf{M}$

Lưu ý cuối cùng: Tôi đã trao sự chấp nhận cho Pinja, vì tôi đã sử dụng giấy mà Pinja đề xuất. Tôi đã cung cấp một câu trả lời cho mình dưới đây điền vào các chi tiết.

quantum-information

— qubyte
nguồn

Bạn có ý nghĩa gì bởi "hệ thống trong câu hỏi là một qubit hoặc một qutrit và một qubit hoặc qutrit khác." - "hệ thống khác" là gì? Bạn đang nói về ancilla cần thiết để thực hiện kênh này bằng cách sử dụng unitaries + truy tìm? Trong trường hợp đó, lưu ý rằng kích thước của ancilla có thể lên tới D ^ 2, vì vậy các qubit sẽ không làm.

— Norbert Schuch

Không, hiện tại nó chỉ là một mô hình đồ chơi bao gồm hai hệ lượng tử nhỏ được ghép nối và có thời gian T1 và T2 khác nhau. Câu trả lời cho câu hỏi này không phải là mối quan tâm nghiêm trọng. Đó là một điểm thú vị hơn, vì nó có thể hữu ích để biết thêm về cách làm điều này trong tương lai.

— qubyte

Tôi có thể chuyển câu hỏi này sang Lý thuyết CS hơn là Vật lý không?

— qubyte

Chà ... tôi nghĩ rằng điều này sẽ ổn ở đây, nhưng không sao.

— David Z

Cảm ơn. Xin lỗi, không phải là một fan hâm mộ lớn của Vật lý.SE, và dù sao, tôi nghĩ rằng các câu hỏi QI định hướng nghiên cứu phù hợp hơn ở đây (sau khi bị thuyết phục).

— qubyte

9

Tôi đã làm việc về một vấn đề rất giống với luận án thạc sĩ của mình, trong đó tôi đã nghiên cứu động lực học phi Markovian của một qubit định hướng trong một môi trường tiêu tan. Quan tâm của tôi là kiểm tra xem phương trình chính tôi thu được là hoàn toàn tích cực, nhưng đây chỉ là một mặt của vấn đề của bạn. Câu hỏi hóa ra rất không tầm thường nếu không có RWA được thực hiện, nhưng tôi đã có thể nhận được một số kết quả bằng cách sử dụng Ref. [ J Mod. Opt. 54, 1695 (2007) ] và khai thác thực tế là qubit được kết hợp yếu với môi trường. Tôi sẽ đánh trống của tôi và cũng cho Ref. đến một bài báo nơi tôi trình bày một số kết quả này, [P. Haikka và S. Manvalco, Phys. Rev. A 81, 052103 (2010)] , bạn có thể thấy nó hữu ích.

Ah! Hóa ra tôi đã nhìn vào tờ giấy của Andersson vài ngày nay. Nó có vẻ rất hứa hẹn, và đưa ra công thức cụ thể nhất. Tôi thích có một phương pháp để áp dụng cho các vấn đề. Thành thật mà nói, tôi cần tìm một khoảng thời gian để thực sự ngồi xuống và xem xét điều này. Đó là nhiều hơn một dự án cá nhân tại thời điểm này.

— qubyte

7

Các tài liệu tham khảo được đưa ra để trả lời cho cơ học lượng tử như một quá trình Markov - đặc biệt là ghi chú trực tuyến của Carlton Cave " Bản đồ hoàn toàn tích cực, bản đồ tích cực và hình thức Lindblad " - khảo sát các ý tưởng vật lý và công cụ toán học hữu ích trong việc trả lời câu hỏi.

Một điểm chính được liên kết với câu hỏi cụ thể được hỏi "Làm cách nào tôi có thể nhận được toán tử Kraus cho tổng toán tử tương đương với ở dạng hữu ích?" Đối với các hệ lượng tử lớn, một siêu bộ xử lý chung sẽ không có dạng nén theo thuật toán. Hơn nữa, các biểu diễn Kraus là không duy nhất và theo hiểu biết tốt nhất của tôi (không phải là chuyên gia), không có quy trình nào chung và hiệu quả để tìm các biểu diễn Kraus của một nhất định có "hình thức hữu ích" (theo bất kỳ tiêu chí nào được đưa ra cho một hình thức là "hữu ích"). Sự phân tách lượng tử quyết định đó là NP-hard cho thấy rằng không tồn tại thuật toán tìm đại diện chung, hiệu quả, ngay cả khi $M$ $M$ $M$ $M$ được đưa ra toàn bộ bằng số.

Để đạt được tiến bộ, có thể hữu ích khi đặt câu hỏi heuristic: "Điều gì đặc biệt về siêu nhân cụ thể của tôi? Tôi có thể trưng bày một bộ máy phát Lindbladian cho nó có tính chất đối xứng hữu ích và / hoặc tạo ra các luồng nén tương thích trên không gian nhà nước Hilbert ? Các tính chất Lindbladian này có liên quan đến cơ sở Hilbert tự nhiên trong đó có biểu diễn nén, yếu tố hoặc thuật toán có thể nén được không? " $M$

Nếu những câu hỏi như thế này có thể được trả lời một cách hiệu quả bằng cách "xoay một thuật toán", thì vật lý lượng tử sẽ là một chủ đề ít thú vị hơn nhiều! :)

— John Sidles
nguồn

Đây là khá nhiều những gì tôi đã hy vọng không phải là trường hợp, nhưng nghĩ sẽ là. Đáng buồn thay, hệ thống chỉ có sự đối xứng có thể khai thác trong trường hợp chỉ mất giá mà không có sự suy giảm. Có một hình thức rất hấp dẫn của phương trình chính Lindblad thu thập các thuật ngữ không phải của Krauss thành một người không phải là ẩn sĩ Hamilton, trong trường hợp không phụ thuộc thời gian vào Hamilton có thể được sử dụng để chọn một cơ sở biểu hiện tự nhiên sự phân rã như các điều khoản Krauss còn lại. Gọn gàng, nhưng không giúp được gì cho tôi

— qubyte

Một trong những tài liệu tham khảo trong các ghi chú của Hang động là các kênh lượng tử Wolf và Cirac Dividing (arXiv: math-ph / 0611057), mà tôi khuyên bạn không cần bảo đảm ít nhất là đã nắm bắt được các vấn đề thông tin lượng tử (nhiều và tinh tế) mà bài viết này thảo luận! :)

Tốt đẹp, tôi sẽ xem xét điều đó. Một điều thú vị mà tôi có thể nên lưu ý về phiên bản chưa được xử lý của hệ thống ở trên là tính độc lập về thời gian của nó có nghĩa là bạn có thể tìm thấy

trực tiếp với lũy thừa ma trận (không hiệu quả, nhưng hệ thống này đủ nhỏ). Bạn cũng có thể xây dựng

bằng cách sử dụng một số toán tử Krauss đã đoán và một vài phương trình đồng thời sau đó cung cấp cho bạn ánh xạ giữa hai, cho phép trích xuất tỷ lệ lỗi trên các kênh khác nhau.

M

$\mathbf{M}$

M

$\mathbf{M}$

— qubyte

6

Tôi nghĩ những gì bạn có thể đang tìm kiếm là đây: Ma trận mật độ thực . Nó cung cấp cho bạn một công thức để chuyển đổi giữa các đại diện siêu nhân khác nhau (bao gồm cả việc sử dụng cơ sở sản phẩm tenor của Paulis). Một thí nghiệm chụp cắt lớp quy trình lượng tử chi tiết sử dụng các kết quả có tại đây: Chụp cắt lớp quy trình lượng tử của Biến đổi Fourier lượng tử . Tổng quát hơn, Havel cũng đã đưa ra các thuật toán để chuyển đổi thành các biểu diễn Kraus tối thiểu ở đây: Thủ tục chuyển đổi giữa các đại diện Lindblad, Kraus và Ma trận của các nhóm bán kết động lượng tử .

Chỉnh sửa để trả lời câu hỏi được thêm vào: thật không may, khu vực này bị vấy bẩn bởi các ký hiệu và quy ước không nhất quán. Tuy nhiên, tôi sẽ cho bạn một thứ có vẻ tự nhiên nhất đối với tôi. Vì vậy, hãy để tôi đưa là hoạt động của lấy các hàng của và xếp chúng trên đầu trang của mỗi khác. Đó là hơn ${\rm vec}(\rho)$ $\rho$ ${\rm vec}(|i\rangle\langle j|)=|i\rangle\otimes|j\rangle$ , đó sẽ là "cột xếp chồng" (Nhưng! Điều này tất nhiên phụ thuộc vào ước của bạn cho sản phẩm Kronecker --- đây tôi tham gia chỉ số thứ hai để "khác nhau nhanh chóng nhất"). Hãy thay vì xác định "cột xếp chồng" ước như . Bây giờ, không ai trong số các ma trận mà hành động như hoặc ${\rm vec}(|i\rangle\langle j|)=|j\rangle\otimes|i\rangle$ ${\rm col}(\rho)$ ${\rm \bf M}^{\rm row}{\rm vec}(\rho_0)={\rm vec}(\rho_t)$ là "Choi" ma trận. Ma trận Choi được định nghĩa là hoặc tương đương ${\rm \bf M}^{\rm col}{\rm col}(\rho_0)={\rm col}(\rho_t)$

C = \sum_{i, j} (1 \otimes | i ⟩ ⟨ j |) M^{r o w} (| i ⟩ ⟨ j | \otimes 1),

${\rm\bf C} = \sum_{i,j} ({\rm\bf 1}\otimes |i\rangle\langle j|) {\rm \bf M}^{\rm row} (|i\rangle\langle j|\otimes {\rm\bf 1}),$

Lưu ý rằng vì tất cả các biểu diễn này được xác định theo các điều khoản cơ bản

, sự biến đổi giữa chúng chỉ là một hoán vị.

C = = \underset{Tôi, j}{Σ} (| Tôi ⟩ ⟨ j | \otimes 1) M^{c o tôi} (1 \otimes | Tôi ⟩ ⟨ j |) .

${\rm\bf C} = \sum_{i,j} (|i\rangle\langle j|\otimes {\rm\bf 1}) {\rm \bf M}^{\rm col} ({\rm\bf 1}\otimes |i\rangle\langle j|).$

{| i ⟩ ⟨ j | \otimes | k ⟩ ⟨ l |}

$\{|i\rangle\langle j|\otimes |k\rangle\langle l|\}$

— Chris Ferrie
nguồn

Điều này thật thú vị, nó có thể chính xác là những gì tôi đang tìm kiếm ...

— qubyte

Tôi chỉ thấy sự bổ sung của bạn. Cảm ơn bạn, điều này rất hữu ích. Ban đầu tôi lấy phiên bản vec của bạn, nhưng bây giờ tôi sử dụng các cột được xếp chồng lên nhau. Cảm ơn Wikipedia vì điều đó. Có lẽ tôi nên chấp nhận ký hiệu của bạn cho rõ ràng.

— qubyte

4

Như Pinja đã lưu ý, một bài báo của Andersson và cộng sự. ( arXiv ) ( DOI ) đặc biệt hữu ích. Bài viết đi sâu vào rất nhiều chi tiết, và cuối cùng tôi đã ngồi xuống hôm nay để có cái nhìn đúng đắn về nó. Như một vấn đề ví dụ, tôi đã chọn hai qubit có tương tác trao đổi để kiểm tra xem đây là phiên bản tối thiểu của những gì tôi đang xem xét. Để bắt đầu, phương trình tổng thể được đưa ra bởi

\dot{ρ} = = Λ (ρ) .

$\dot\rho = \Lambda(\rho).$

$\sigma_i = \mathbf{1},\sigma_x,\sigma_y,\sigma_z$ $1/2$ $G_i$ $G_5 = G_{xx} = (\sigma_x\otimes\sigma_x)/2$

$L$

L_{n, m} = = T r [G_{n} Λ (G_{m})] .

$L_{n,m} = \mathrm{Tr}[G_n\Lambda(G_m)].$

Nếu chúng ta đang làm việc với phương trình chính như một ma trận tác động lên toán tử mật độ vectơ như được thảo luận trong câu hỏi, thì điều này có thể được biểu thị như

L_{n, m} = = v e c (G_{n})^{†} Λ v e c (G_{m}),

$L_{n,m} = \mathrm{vec}(G_n)^\dagger\,\Lambda\,\mathrm{vec}(G_m),$

cho phép L xuất phát trong một phương trình ma trận đơn, nhưng điều đó hơi lạc đề.

Trong trường hợp mẫu tôi đã xem xét, $L$ không chứa các thuật ngữ thay đổi thời gian, vì vậy nó có thể được lũy thừa để có được một ma trận mới $F$ , có liên quan đến nghiệm của phương trình tổng thể $\phi$

F (t) = \exp (L t) .

$F(t) = \exp(Lt).$

$F$ can be used to get a Choi matrix $S$ , which is exactly what I need. At this point, a basis needs to be chosen for the future Krauss operators. I'm quite happy with the Pauli operators so I'll stick with those for this next equation,

S_{a, b} = \sum_{n, m} F_{m, n} T r [G_{n} G_{a} G_{s} G_{b}] .

$S_{a,b} = \sum_{n,m}F_{m,n}\mathrm{Tr}[G_nG_aG_sG_b].$

Finally, the wonderful part.

ρ_{t} = ϕ_{n, m} (ρ_{0}, t) = S_{n, m} (t) G_{n} ρ_{0} G_{m}^{†}

$\rho_t=\phi_{n,m}(\rho_0,t) = S_{n,m}(t)G_n\rho_0 G_m^\dagger$

As you can see, $S$ is a matrix of weights for a sum of superoperators in a useful basis that I can select. This has been referred to as the process matrix (arXiv)(DOI) which is unique to a process in a given basis. In the sample case, in which the master equation has no time dependent terms on the RHS, the solution can be directly verified by representing $\Lambda$ in matrix form and exponentiating it to get $\phi(t)=\exp(\Lambda t)$ .

This works in the time independent case for quits and qutrits as expected. I need to check that this works in the case of time dependence.

— qubyte
nguồn