Büchi automata với chiến lược chấp nhận

Vấn đề

Hãy là một automaton Buchi, thừa nhận một ngôn ngữ L ⊆ Σ w . Chúng tôi cho rằng A có một chiến lược chấp nhận theo nghĩa sau đây: có một hàm σ : Σ * → Q có thể được sử dụng để chạy thí điểm Một . Chúng tôi chính thức hóa điều này bằng các điều kiện sau:$A=\langle \Sigma, Q, q_0,F,\Delta\rangle$$L\subseteq\Sigma^\omega$$A$$\sigma:\Sigma^*\to Q$$A$

• $\sigma(\epsilon)=q_0$

• cho tất cả các và một ∈ Σ , ( σ ( u ) , một , σ ( u một ) ) ∈ $u\in\Sigma^*$$a\in\Sigma$$(\sigma(u),a,\sigma(ua))\in\Delta$

• cho tất cả các , chạy thử nghiệm bởi σ được chấp nhận, tức là chuỗi σ ( ε ) , σ ( một 0 ) , σ ( một 0 một 1 ) , σ ( một 0 một 1 một 2 ) , ... có vô số các yếu tố trong F .$w=a_0a_1a_2\dots\in L$$\sigma$$\sigma(\epsilon),\sigma(a_0),\sigma(a_0a_1),\sigma(a_0a_1a_2),\dots$$F$

Để chấp nhận các điều kiện, có thể chấp nhận bất kỳ từ nào trong ngôn ngữ của mình mà không phải đoán bất cứ điều gì về tương lai.$A$

Sau đó, theo các giả định về , có đúng là A có thể được xác định chỉ bằng cách loại bỏ các chuyển đổi không? Nói cách khác, chúng ta có thể luôn luôn chọn chuyển tiếp tiếp theo chỉ phụ thuộc vào trạng thái và chữ hiện tại không? Có bất kỳ tài liệu tham khảo về chủ đề này? Câu hỏi tương tự sau đó có thể được hỏi trên co-Büchi automata, và nói chung hơn là về automata chẵn lẻ.$A$$A$

Những gì được biết

Dưới đây là một số kết quả một phần.

Đầu tiên, chúng ta có thể hạn chế đối với các lựa chọn không xác định giữa các quốc gia có cùng số dư. Thật vậy, nếu L ( q ) là ngôn ngữ được chấp nhận từ q , một chiến lược chấp nhận có thể không chọn q 1 trên q 2 tại một số điểm, nếu có w ∈ L ( q 2 ) ∖ L ( q 1 ) .$\sigma$$L(q)$$q$$q_1$$q_2$$w\in L(q_2)\setminus L(q_1)$

Lưu ý rằng các lựa chọn còn lại có vấn đề, vì vậy mặc dù có trực giác, nhưng điều này là không đủ để thoát khỏi thuyết không điều kiện. Điều này là do có thể giữ ad infinitum ở trạng thái dư tốt (nghĩa là phần còn lại của từ nằm trong phần dư), nhưng từ chối từ này vì không thấy vô số trạng thái Büchi. Đây là khó khăn chính của vấn đề: một cuộc chạy vô hạn có thể sai, mà không có bất kỳ sai lầm chết người nào tại một số điểm.

Thứ hai, vấn đề được giải quyết nếu , tức là tất cả các từ được chấp nhận bởi Một . Trong trường hợp này, chúng ta có thể xem A là một trò chơi Büchi trong đó Người chơi I chọn các chữ cái đầu vào và Người chơi II chọn các hiệu ứng chuyển tiếp. Sau đó, chúng ta có thể sử dụng tính xác định vị trí của các trò chơi Büchi để trích xuất chiến lược vị trí cho Người chơi II. Đối số này thậm chí hoạt động trong trường hợp tổng quát hơn của automata chẵn lẻ. Khó khăn của vấn đề này xuất phát từ thực tế là một số từ không trong L , và trong trường hợp này các chiến lược σ thể có bất kỳ hành vi.$L=\Sigma^\omega$$A$$A$$L$$\sigma$

Thứ ba, đây là một bằng chứng cho thấy dưới các giả định, ngôn ngữ là trong lớp của ngôn ngữ Buchi xác định, sự chứng kiến của một automaton với các quốc gia 2 Q . Chú ý rằng điều này ngụ ý rằng L không thể được bất kỳ ω ngôn ngữ -regular, ví dụ nếu L = ( một + b ) * một ω , không có chiến lược σ phù hợp với các điều kiện có thể tồn tại.$L$$2^Q$$L$$\omega$$L=(a+b)^*a^\omega$$\sigma$

Chúng tôi bắt đầu bằng cách hạn chế các chuyển đổi theo nhận xét đầu tiên: các lựa chọn duy nhất chúng tôi có thể thực hiện không ảnh hưởng đến ngôn ngữ còn lại. Chúng tôi chỉ mất kế với dư tối đa, họ phải tồn tại vì tồn tại.$\sigma$

Sau đó, chúng tôi xây dựng theo cách sau. A ′ là bộ tự động con của A , nhưng mỗi khi trạng thái Büchi q xuất hiện trong thành phần, tất cả các trạng thái khác có thể được xóa khỏi thành phần và chúng tôi bắt đầu lại từ singleton { q } . Sau đó, chúng ta có thể thiết lập F ' = { { q } : q ∈ F $A'=\langle \Sigma, 2^Q, \{ q_0\},F',\Delta'\rangle$$A'$$A$$q$$\{ q\}$$F'=\{\{ q\} : q\in F\}$. Chúng ta có thể xác minh rằng là một Buchi automaton xác định cho L .$A'$$L$

Cuối cùng, bằng cách kết hợp các nhận xét thứ hai và thứ ba, chúng ta luôn có thể có được chiến lược bộ nhớ hữu hạn , bằng cách sử dụng chiến lược vị trí cho Người chơi II trong trò chơi A × A ′ trong đó Người chơi I chọn các chữ cái, Người chơi II chọn chuyển tiếp trong A và chiến thắng nếu A chấp nhận bất cứ khi nào một ' chấp nhận.$\sigma$$A\times A'$$A$$A$$A'$

Hóa ra câu trả lời là không, một số ví dụ phản biện có thể được tìm thấy trong bài báo này .

Như bạn đã chỉ ra, Buchi automata không xác định và xác định chấp nhận các ngôn ngữ khác nhau. 'Xác định' nổi tiếng nhất cho máy tự động Buchi được đưa ra bởi Safra (tìm kiếm "công trình của Safra" trên web. Đây là một tài liệu xuất hiện: www.cs.cornell.edu/cifts/cs686/2003sp/Handouts/safra.pdf) . Quy trình này khá phức tạp và liên quan đến việc chuyển đổi Buchi automaton thành một máy tự động Rabin xác định (có 'chấp nhận' trạng thái F và 'từ chối' trạng thái G: \ sigma chỉ có nhiều trạng thái trong G). Việc xây dựng của Safra liên quan đến nhiều hơn là chỉ đơn giản là loại bỏ các chuyển tiếp và / hoặc xây dựng tập hợp con thông thường.