Mafia khó đến mức nào?

Mafia là một trò chơi nhập vai phổ biến tại các bữa tiệc, một mô tả chi tiết có sẵn tại wikipedia http://en.wikipedia.org/wiki/Mafia_%28game%29 .

Về cơ bản, nó hoạt động như sau:

• Lúc đầu, mỗi người chơi được bí mật giao một vai trò, hoặc liên kết với Mafia hoặc với Thị trấn. Mỗi vai trò có thể có khả năng đặc biệt; thêm về điều đó sau$N$

• Có hai giai đoạn trò chơi: Ngày và Đêm. Vào ban đêm, Mafia có thể liên lạc bí mật với nhau; và họ có thể đồng ý với một người chơi mục tiêu họ giết người đêm đó. Vào ban ngày, tất cả người chơi (còn sống) giao tiếp trong một diễn đàn mở. Người chơi có thể đồng ý nới lỏng một người chơi, phần lớn tuyệt đối của tất cả người chơi là cần thiết.

• Trò chơi kết thúc nếu chỉ còn lại Mafia, hoặc chỉ còn lại Thị trấn. Đảng sống sót chiến thắng.

• Hãy giả sử rằng có ba vai trò: Công dân, Điều tra viên và Mafioso. Công dân không có quyền hạn. Mafiosi cũng không có khả năng nào ngoài việc có thể liên lạc với nhau vào ban đêm và bỏ phiếu cho một nạn nhân giết người mỗi đêm. Các nhà điều tra có thể điều tra một người chơi khác trong mỗi đêm, tìm ra vai trò chính xác của họ.

• Giả sử trò chơi bắt đầu vào ban ngày và vai trò của người chơi được tiết lộ khi chết

Chiến lược chiến thắng

Đưa ra một thiết lập của Điều tra viên, Citizen và Mafiosi, chúng tôi nói rằng thiết lập đó là chiến thắng cho Town , nếu có chiến lược cho người chơi Town, để họ chiến thắng, bất kể Mafia chơi.$(i,c,m)$$i$$c$$m$

Lưu ý rằng chúng tôi có thể giả định rằng Mafia chơi với thông tin đầy đủ, vì chúng tôi muốn tính đến mọi quyết định mà họ có thể đưa ra.

Ví dụ: Thiết lập thắng cho Town.$(4,1,1)$

Ngày 1: Tất cả người chơi trong Thị trấn báo cáo trung thực vai trò của họ trong cuộc trò chuyện mở. Người chơi Mafia phải tự xưng là Điều tra viên hoặc Công dân.

Nếu anh ta yêu cầu Công dân, thì Mafioso là một trong hai Công dân bị cáo buộc. Mỗi Điều tra viên có thể điều tra một trong hai, và sẽ tìm ra người thật. Nhiều nhất một Điều tra viên có thể chết trong đêm, và hai người còn lại chỉ đơn giản là treo Mafioso.

Do đó, Mafioso phải yêu cầu Điều tra viên. Có 5 người bị cáo buộc là Invesigators. Trong cuộc trò chuyện mở, các Điều tra viên đồng ý về một hoán vị để kiểm tra lẫn nhau.

Đêm 1: Các nhà điều tra kiểm tra mục tiêu của họ và Mafioso giết chết một người.

Ngày 2: Có 3 Điều tra viên còn lại. Tất cả các nhà điều tra bị cáo buộc báo cáo phát hiện của họ. Bất kể ai đã bị giết, ít nhất một trong số họ cũng được xác nhận bởi một Điều tra viên còn sống khác. Kể từ khi Mafioso tuyên bố Điều tra viên, anh ta cũng cần nói liệu mục tiêu được giao của mình có phải là Mafia hay không. Nếu anh ta đóng khung ai đó, thì Thị trấn biết rằng anh ta hoặc người đóng khung là Mafia, chống lại 3 Thị trấn được xác nhận khác. Nếu anh ta không đóng khung bất cứ ai, cũng sẽ có 3 Town xác nhận. Dù bằng cách nào, không treo cổ ai và điều tra 2 nghi phạm còn lại duy nhất chiến thắng cho Town.

Câu hỏi

• Thật khó để quyết định liệu một thiết lập nhất định có thừa nhận chiến lược chiến thắng cho Town không? Theo trực giác, điều này nghe có vẻ như là một vấn đề đầy đủ của . Bất cứ ai có thể đưa ra một giảm?$PSPACE$
• Chúng ta có thể tìm thấy các thiết lập chiến thắng tối thiểu? Như trong chúng ta có thể giảm thiểu các tỷ lệ hoặc ?$i:m$$(i+c):m$

Đây là một tài liệu tham khảo mà bạn sẽ muốn xem: http://www.jstor.org/urdy/10.2307/25442651

Mafia: Một nghiên cứu lý thuyết về người chơi và liên minh trong môi trường thông tin một phần Braverman, M. và Etesami, O. và Mossel, E. Biên niên sử về Xác suất ứng dụng 2008

Trước hết, lưu ý rằng luôn luôn có lợi khi bắt đầu trò chơi với việc hỏi mỗi người dân vai trò của họ nếu chúng ta đang tìm kiếm một chiến lược chiến thắng mang tính quyết định cho Town. Điều này là bởi vì nếu không có vấn đề gì, Mafiosi tuyên bố rằng Thị trấn giành chiến thắng, thì rõ ràng không có hại gì để hỏi. Và nếu Mafiosi có thể tự tuyên bố một cái gì đó và giành chiến thắng trong trường hợp đó, thì họ giả vờ rằng họ đã tuyên bố và hành động tương ứng.

Ngoài ra, một trò chơi như thế này có lẽ sẽ không hoàn thành PSPACE vì không có cấu trúc cơ bản. Tôi tin tưởng mạnh mẽ rằng không khó để phân tích trò chơi cho tất cả các giá trị của i, c, m. Dưới đây tôi làm điều này cho m = 1. Vì vậy, từ bây giờ chúng ta hãy giả sử rằng chỉ có một mafioso, M và trò chơi bắt đầu bằng việc hỏi các vai trò. Bây giờ M hoặc yêu cầu điều tra viên hoặc công dân. Hãy để chúng tôi kiểm tra cả hai trường hợp.

Trường hợp 1: Điều tra viên yêu cầu M

Nếu i = 0, thì Town thắng nếu c ít nhất là 2.

Nếu i = 1, thì Town thắng nếu c ít nhất 4. Với số lượng nhỏ hơn họ sẽ mất vì M có thể giết một công dân mỗi đêm.

Nếu i = 2, thì Town thắng nếu c ít nhất là 3. 3 điều tra viên bị cáo buộc có thể hỏi nhau theo thứ tự vòng tròn. M được tiết lộ trừ khi một trong số họ chết, vì vậy anh ta phải giết một điều tra viên. Điều này làm giảm trò chơi trong trường hợp i = 1.

Nếu i = 3, thì Town thắng nếu c ít nhất là 1. 4 nhà điều tra bị cáo buộc có thể hỏi nhau theo thứ tự vòng tròn. M được tiết lộ trừ khi một trong số họ chết, vì vậy anh ta phải giết một điều tra viên. Bây giờ có (nhiều nhất) hai khả năng cho M và ít nhất 5 người còn lại, vì vậy họ có thể giết cả hai. Nếu c = 0, thì dù họ có hỏi nhau như thế nào, M luôn có thể giết ai đó và ở ẩn (bằng cách phân tích trường hợp), do đó, Town không có chiến thắng xác định.

Nếu i> = 4, thì Town thắng do các nhà điều tra bị cáo buộc hỏi nhau theo thứ tự vòng tròn, như trong trường hợp i = 3.

Trường hợp 2: M yêu cầu công dân

Ở đây trò chơi đơn giản hơn rất nhiều, các nhà điều tra yêu cầu những người khác nhau ở mỗi vòng và M giết chết một trong số họ mỗi đêm (giết một điều tra viên luôn tốt hơn một công dân). Ngoài ra, đôi khi họ có thể bỏ phiếu để giết một công dân (trên thực tế, luôn luôn ổn khi làm như vậy, trừ khi i = 2 và c = 1). Vì sử dụng đệ quy, tốt hơn là cũng cho phép công dân được chứng minh là vô tội và biểu thị số của họ bằng n.

Thị trấn thắng nếu

i = 0, n> = c + 2, i = 1, n> = c + 1, i = 2, n> = c-2 và từ đây chúng ta có thể thấy (và cũng dễ dàng chứng minh) rằng đối với i Town chung thắng khi và chỉ khi n> = c + 2-i ^ 2. Vì trong trò chơi thực tế không có công dân vô tội ngay từ đầu, điều này có nghĩa là Thị trấn thắng nếu i ^ 2> = c + 2.

Đặt nó cùng nhau: Town không có chiến thắng xác định nếu i <= 2. Với i = 3, Town thắng 1 <= c <= 7 (vì 0 M có thể yêu cầu điều tra viên và với c> = 8, anh ta có thể yêu cầu công dân). Với i> = 4, Town thắng cho c <= i ^ 2-2.