Sự phức tạp của tối ưu hóa trên nhóm đơn nhất

Độ phức tạp tính toán của việc tối ưu hóa các chức năng khác nhau so với nhóm đơn nhất gì? $\mathcal{U}(n)$

Một nhiệm vụ điển hình, phát sinh thường xuyên trong lý thuyết thông tin lượng tử, sẽ là tối đa hóa một số lượng loại (hoặc đa thức bậc cao trong ) trên tất cả các đơn nhất ma trận . Là loại tối ưu hóa hiệu quả (có lẽ xấp xỉ) có thể tính toán được, hay nó là NP-hard? (có thể điều này được nhiều người biết đến, nhưng tôi không thể tìm thấy bất kỳ tài liệu tham khảo chung nào) $\mathrm{Tr}AUBU^{\dagger}$ $U$ $U$

— Marcin
nguồn

Bạn có ổn không khi giới hạn "các chức năng khác nhau" thành "đa thức đối với các đơn vị"?

— Artem Kaznatcheev

Tôi không biết nhiều về những vấn đề này phát sinh như thế nào, nhưng điều tương tự tự nhiên cổ điển của vấn đề này là gì? Bạn có biết sự phức tạp của vấn đề đó?

— Robin Kothari

Có một bài viết rất hay của Roger Brockett từ năm 1991 cho thấy cách thể hiện sắp xếp và lập trình tuyến tính theo hình thức bạn mô tả, nhưng qua các ma trận trực giao. Mặc dù không đề cập đến sự phức tạp, nhưng thực tế là hai vấn đề rất khác nhau có thể được diễn đạt giống nhau có nghĩa là bạn sẽ cần biết điều gì đó về cấu trúc vấn đề để đưa ra quyết định phức tạp: eecs.ber siêu.edu / ~ sburden / research / jonathan / Brockett1991.pdf

— Suresh Venkat

@Artem: vâng, trong thực tế đa thức độ thấp là phù hợp nhất, tôi nghĩ vậy.

— Marcin Kotowski

Nó liên quan đến sự phân rã bản địa của

và

trong ví dụ độ 2 mà bạn đưa ra. Đối với người ẩn sĩ

và

đơn vị có thể được sử dụng để tối đa hóa dấu vết bằng cách có các điểm xuất phát của

phù hợp với

; sau đó nó đủ để tối đa hóa sản phẩm chấm của các chuỗi giá trị riêng của chúng, điều này không quan trọng nếu

và

là bán chính xác dương (và một trường hợp mà chúng ta có thể giảm bằng cách thêm bội số của danh tính để hủy bỏ giá trị bản địa). Hay bạn quan tâm đến các trường hợp tổng quát hơn nhiều, không nhất thiết phải được thúc đẩy bởi cơ học lượng tử trên các hệ chiều nhỏ?

A

$A$

B

$B$

A

$A$

B

$B$

U

$U$

U B U^{†}

$U B U^\dagger$

A

$A$

A

$A$

B

$B$

— Niel de Beaudrap

Câu trả lời:

Xin lỗi tôi tới trễ! Trong lý thuyết điện toán lượng tử, có rất nhiều ví dụ về các vấn đề tối ưu hóa trong nhóm đơn nhất, đáng ngạc nhiên (ít nhất là đối với tôi), có thể giải quyết được trong thời gian đa thức (cổ điển) bằng cách giảm xuống lập trình semidefinite.

Đây là một ví dụ ban đầu: giải quyết một vấn đề của tôi từ năm 2000, năm 2003 , Barnum, Saks và Szegedy đã chỉ ra rằng Q (f), độ phức tạp truy vấn lượng tử của hàm Boolean f: {0,1} ⁿ → {0,1 }, có thể được tính theo đa thức thời gian trong 2 ⁿ (nghĩa là kích thước của bảng chân lý của f). Tôi đã nghĩ về điều này nhưng không thể thấy cách thực hiện, vì người ta cần tối ưu hóa xác suất thành công trên tất cả các thuật toán truy vấn lượng tử có thể, mỗi thuật toán có một ma trận đơn nhất (có thể là 2 ⁿ ). Barnum et al. giảm xuống SDP bằng cách khai thác "tính đối ngẫu" giữa các ma trận đơn vị và ma trận bán nguyệt dương, cái gọi là đẳng cấu Choi-Jamiolkowski. Để biết đặc tính SDP gần đây và đơn giản hơn Q (f), hãy xem bài viết năm 2010 của Reichardt cho thấy phương pháp đối thủ có trọng số âm là tối ưu.

Một trường hợp quan trọng khác mà thủ thuật này đã được khai thác là trong các hệ thống chứng minh tương tác lượng tử. Mặc dù nó không rõ ràng bằng trực giác, năm 2000 Kitaev và Watrous đã chứng minh rằng QIP ⊆ EXP. bằng cách giảm vấn đề tối ưu hóa các ma trận đơn vị có kích thước theo cấp số nhân phát sinh trong hệ thống chứng minh tương tác lượng tử 3 vòng, để giải quyết một SDP có kích thước theo cấp số nhân (một lần nữa, tôi nghĩ, sử dụng phép đồng phân Choi-Jamiolkowski giữa các trạng thái hỗn hợp và ma trận đơn vị). Bước đột phá gần đây của QIP = PSPACE đến từ việc cho thấy rằng SDP cụ thể đó có thể được giải quyết xấp xỉ thậm chí còn tốt hơn, trong NC (tức là, bằng các mạch sâu log).

Vì vậy, bất kể vấn đề tối ưu hóa cụ thể của bạn liên quan đến nhóm đơn nhất, tôi đoán là nó có thể được giải quyết nhanh hơn bạn nghĩ - nếu không theo một cách nào đó thậm chí đơn giản hơn, thì bằng cách giảm xuống SDP!

— Scott Aaronson
nguồn

Scott thân mến! Barnum, Saks và Szegedy không đề cập rõ ràng đến sự đồng hình của Choi-Jamiolkowski và tôi không hiểu điều này có liên quan như thế nào đến việc xây dựng chúng. Bạn có thể vui lòng giải thích về điều này? Tôi đang hỏi bởi vì tôi đang cố gắng để hiểu liệu một kết quả tương tự có thể xảy ra đối với trường hợp các nhà tiên tri bị lỗi hay không.

— Joris

-3

Việc xác định xem hai ma trận Hadamard có tương đương hay không là một vấn đề hoàn chỉnh của biểu đồ đẳng cấu (GI). Brendon McKay có một bài viết về chủ đề này. Xem BD McKay, tương đương Hadamard thông qua đẳng cấu đồ thị, Toán học rời rạc, 27 (1979) 213-216.

— Dursun
nguồn

\pm 1

$\pm 1$