Thời gian che phủ và khoảng cách quang phổ cho bước đi ngẫu nhiên đảo ngược

Tôi đang tìm một định lý có nội dung như sau: nếu thời gian che phủ của chuỗi Markov có thể đảo ngược là nhỏ, thì khoảng cách quang phổ là lớn. Ở đây khoảng cách quang phổ có nghĩa là , đó là, chúng tôi bỏ qua giá trị riêng nhỏ nhất của chuỗi.$1-|\lambda_2|$

$O(n \log n)$n - $1-\max(|\lambda_2|, |\lambda_n|)$$n^{-1}$

Theo trực giác, có vẻ rất hợp lý rằng nếu bạn có thể bao quát tất cả các đỉnh của đồ thị một cách nhanh chóng, thì thời gian trộn phải nhỏ. Cụ thể, nếu bạn có thể bao quát tất cả các đỉnh của đồ thị trong lần, chắc chắn bạn sẽ có thể loại trừ khoảng cách quang phổ của, giả sử, ?n - $n^2$$n^{-1000}$

Một trở ngại có thể phá vỡ hệ lụy giữa thời gian che phủ nhỏ và khoảng cách quang phổ lớn là tính lưỡng cực: trên biểu đồ lưỡng cực, bạn có thể có thời gian che phủ nhỏ với giá trị riêng là . Bởi trong câu hỏi của tôi, tôi bỏ qua vấn đề này bằng cách bỏ qua giá trị riêng nhỏ nhất.$-1$

Nói một cách đơn giản, thời gian trộn là thời gian va chạm tồi tệ nhất của một nửa các đỉnh. Thời gian che phủ là thời gian dừng khi TẤT CẢ các tập hợp con của đỉnh được nhấn. Nói cách khác, nó luôn lớn hơn thời gian trộn. Vì vậy, ví dụ của bạn không thể có thời gian trộn và thời gian bao trùm . n $n^{1000}$$n^2$

Làm cho trực giác này chính xác đòi hỏi một chút cẩn thận vì chúng ta cần liên kết thời gian trộn với khoảng cách eigenvalue, không lấy một nửa các đỉnh mà một nửa phân phối cố định , v.v. Bắt đầu với bài viết này của Lovasz và Winkler, đưa ra phiên bản trên của thời gian trộn và liên quan đến thời gian trộn tiêu chuẩn hơn trong tổng biến thể. $\pi$