Độ phức tạp của kiểm tra giá trị so với tính toán hàm

Nói chung, chúng ta biết rằng sự phức tạp của việc kiểm tra xem một hàm có lấy một giá trị cụ thể tại một đầu vào nhất định hay không dễ hơn so với việc đánh giá hàm tại đầu vào đó. Ví dụ:

• Đánh giá độ vĩnh cửu của ma trận số nguyên không âm là # P-hard, tuy nhiên cho biết mức vĩnh viễn như vậy là 0 hay không khác nhau trong P (khớp bipartite)

• Có n số thực $a_1,...,a_n$ , sao cho đa thức $\prod_{i=1}^{n}(x - a_i)$ có các tính chất sau (thực sự hầu hết các tập hợp $n$ số thực sẽ có các tính chất này). Đối với cho đầu vào $x$ , thử nghiệm hay không đa thức này là không mất $\Theta(\log n)$ phép nhân và so sánh (theo kết quả Ben-Hoặc của , kể từ khi thiết lập không có $n$ thành phần), nhưng đánh giá đa thức trên phải mất ít nhất $\Omega(\sqrt{n})$các bước, bởiPaterson-Stockmeyer.

• Sắp xếp yêu cầu các bước $\Omega(n \log n)$ trên cây so sánh (cũng là $\Omega(n \log n)$ trên cây quyết định đại số thực, một lần nữa bằng kết quả của Ben-Or), nhưng kiểm tra nếu danh sách được sắp xếp chỉ sử dụng so sánh $n-1$ .

Có các điều kiện chung về đa thức đủ để ngụ ý rằng độ phức tạp (đại số) của kiểm tra xem đa thức có bằng 0 hay không tương đương với độ phức tạp của việc đánh giá đa thức?

Tôi đang tìm kiếm các điều kiện không phụ thuộc vào việc biết trước sự phức tạp của các vấn đề.

( Làm rõ 27/10/2010 ) Để rõ ràng, đa thức không phải là một phần của đầu vào. Điều đó có nghĩa là, với một họ hàm cố định (một cho mỗi kích thước đầu vào (bitlength hoặc số lượng đầu vào)), tôi muốn so sánh độ phức tạp của vấn đề ngôn ngữ / quyết định { X : f n ( X ) = 0  trong đó  n  là "kích thước" của  X } với độ phức tạp của việc đánh giá các hàm { f n } .$\{ f_n \}$ $\{ X : f_n(X) = 0 \text{ where } n \text{ is the "size" of } X \}$ $\{f_n\}$

Làm rõ: Tôi đang hỏi về sự phức tạp tiệm cận của việc đánh giá / kiểm tra các họ của đa thức. Ví dụ: trên một trường cố định (hoặc vòng, chẳng hạn như ) "vĩnh viễn" không phải là một đa thức đơn lẻ, mà là một họ vô hạn { p e r m n : n ≥ 0 } trong đó p e r m n là vĩnh viễn của một n × n ma trận trên rằng lĩnh vực (hoặc vòng).$\mathbb{Z}$$\{perm_{n} : n \geq 0 \}$$perm_{n}$$n \times n$

Trên , kiểm tra bằng 0 và đánh giá là "gần như" giống nhau theo nghĩa sau: Giả sử bạn có một cây quyết định kiểm tra xem một số đa thức f không thể thay đổi là khác không. Chúng tôi đang làm việc trên C , do đó chúng tôi chỉ có thể kiểm tra sự bình đẳng nhưng chúng tôi không có "<". Đó là sự khác biệt quan trọng đối với ví dụ thứ hai trong câu hỏi! Bây giờ đi theo đường dẫn điển hình, nghĩa là đường dẫn được thực hiện bởi hầu hết tất cả các đầu vào (chúng ta luôn đi theo " ≠ " -branch). Hơn nữa, đi theo con đường điển hình của tất cả các yếu tố trong giống V ( f ) . Đặt v là nút tại đó hai đường dẫn này lần đầu tiên có một nhánh khác nhau. Để h 1$\mathbb{C}$$f$$\mathbb{C}$$\not=$$V(f)$$v$ là các đa thức được kiểm tra dọc theo tiền tố chung của hai đường dẫn. Vì V ( f ) được đóng, tất cả các phần tử nằm trong V ( f ) và đạt v cũng nằm trong V ( h m ) . Do đó, nếu f ( x ) = 0 , thì một trong số h i biến mất trên x . Chúng tôi áp dụng Nullstellensatz của Hilbert cho h 1 ⋯ h m và nhận được rằng f g $h_1,\dots,h_m$$V(f)$$V(f)$$v$$V(h_m)$$f(x) = 0$$h_i$$x$$h_1 \cdots h_m$$f g = h_1 \cdots h_m$ for some polynomial $g$ that's coprime to $f$. In short, while we are not computing $f$, when deciding whether $f(x) = 0$, we have to compute $fg$ for some coprime $g$.

Makowski's "Algorithmic uses of the Feferman–Vaught Theorem" is possibly relevant. He defines polynomials by summing over MSOL-definable structures on graphs and shows that they are tractable to evaluate when graphs are tree-width bounded.

This doesn't say much about difference in complexity of testing/evaluation beyond being FPT. Testing for a value means asking if there exists a setting of variables such that given MSO2 formula on given graph evaluates to true, whereas evaluating involves enumerating over satisfying assignments of MSO2 formula. This seems to be related to the question of how complexity of counting SAT relates to complexity of SAT.

Edit 10/29 Another useful concept might be to look into Uniform Difficult Point Property. Apparently polynomials with this property are either easy to evaluate in all points, or hard to evaluate almost at every point. Makowski gives some references on slides 46-52 -- http://www.cs.technion.ac.il/admlogic/TR/2009/icla09-slides.pdf

I'm going to venture the idea that evaluating a polynomial $q(x)$ in $\mathbb F_p$ for fixed prime $p$ (or any finite field extension thereof, and with the coefficients restricted to the same field) will fit your criterion.

more concretely, lets consider a polynomial in $\mathbb F_2[x]$. We know that $x^2=x$ in $\mathbb F_2$, so if we assume that any polynomial is already in a reduced form when given as an input, we are left simply considering one of : $0,1,x,x+1$ and accordingly evaluating any of these polynomials at either of $0$ or $1$ takes at most 2 arithmetic operations.

I believe that a similar "constant time via fixed number of arithmetic operations" statement applies more generally for $\mathbb F_q$ where $q=p^n$ where $p$ is prime. note that if $n$ isn't fixed, this statement no longer is valid

I'm not sure if I understand the question correctly but let me attempt to shed some light.

Typically, evaluating a polynomial at certain values is easier than identity testing, especially when the representation of the polynomial is via a circuit (some succinct representation). However, there are lots of randomized identity testing algorithms (Schwarz-Zippel being the most straight-forward) that works on just evaluations.

In certain special cases, we have 'black-box' tests for identity testing where you can test if a polynomial is zero or not by just evaluating it at a predefined set of points. A simple example of this is if the polynomial is 'sparse' (just has $n^{O(1)}$ monomials). To make the exposition simpler, lets assume the polynomial is multilinear (each monomial is a product of distinct variables).

A natural way to send a multivariate multilinear polynomial to a univariate is via the substitution $x_i \mapsto y^{2^i}$. The resulting polynomial is say $\sum_{i\in S} \alpha_i y^{a_i}$. This could be an exponential degree polynomial of course but let us go modulo $y^r - 1$ for a small range of $r$'s. Now an $r$ would be "bad" for a pair of monomials if $y^a$ and $y^b$ get mapped to the same monomial modulo $y^r - 1$. Or in other words, $r$ divides $a - b$. Thus as long as $r$ does not divide $\prod_{i,j\in S} (a_i - a_j)$, this wouldn't happen. Hence it is sufficient to run over a polynomial range of $r$'s. Thus, it suffices to evaluate the polynomial at some roots of unities and we can figure out of the polynomial is zero or not.

There has been more progress in black-box identity testing algorithms. Right now, most of then stand at restricted depth 3 circuits (sum of products of sums of variables). (FWIW) Some of this is mentioned in more details in Chapter 3 and 4 of my M.Sc thesis. And there has been further improvements by Saxena and Seshadri recently as well.

Any #P problem, or even #P/poly, can be written as a polynomial: make a circuit out of NAND gates, write these as $1-xy$ where $x$ and $y$ are 0-1 valued integers, and sum over all inputs. This gives a polynomial in $\mathbb{Z}[x_1,...,x_n]$ for inputs of size $n$. The decision problem is testing whether this is 0.