Phát hiện hai loại đa giác gần như đơn giản

Tôi quan tâm đến sự phức tạp của việc quyết định xem một đa giác không đơn giản nhất định có gần như đơn giản hay không, theo một trong hai giác quan chính thức khác nhau: đơn giản yếu hoặc không tự giao . Vì các thuật ngữ này không được biết đến rộng rãi, hãy để tôi bắt đầu với một số định nghĩa.

• Một đa giác $P$ là chu kỳ khép kín của đoạn thẳng nối một số dãy hữu hạn $p_0, p_1, p_2, \dots, p_{n-1}$ điểm trên mặt phẳng. Các điểm $p_i$ được gọi là các đỉnh của đa giác và các đoạn $p_i p_{i+1\bmod n}$ được gọi là các cạnh của nó . Chúng ta có thể chỉ định bất kỳ đa giác bằng cách chỉ liệt kê các đỉnh của nó theo thứ tự.

• Một đa giác là đơn giản nếu tất cả $n$ đỉnh là khác biệt và các cạnh chỉ giao nhau tại các điểm cuối của chúng. Tương tự, một đa giác là đơn giản nếu nó đồng nhất với một vòng tròn và mọi cạnh đều có chiều dài dương. Tuy nhiên, nói chung, các đỉnh và cạnh của đa giác có thể giao nhau tùy ý hoặc thậm chí trùng khớp. ¹

• Xét hai đường đa giác $A$ và $B$ có giao điểm là một đường con chung của cả hai (có thể là một điểm duy nhất). Chúng ta nói rằng $A$ và $B$ chéo nếu điểm cuối của họ $A(0), B(0), A(1), B(1)$ thay thế trên ranh giới của một khu phố của subpath chung $A\cap B$ . Một đa giác là tự vượt qua nếu nó có hai đường dẫn con chéo và không tự vượt qua khác. ²

• Một đa giác rất đơn giản nếu đó là giới hạn của một chuỗi các đa giác đơn giản, hoặc tương đương, nếu có một sự nhiễu loạn nhỏ tùy ý của các đỉnh làm cho đa giác đơn giản. Mỗi đa giác đơn giản yếu là không tự vượt qua; tuy nhiên, một số đa giác không tự vượt qua không đơn giản.

Ví dụ, hãy xem xét sáu điểm $a,b,p,q,x,y$ được hiển thị bên dưới.

• Đa giác $abpqyz$ rất đơn giản; xem hình bên trái

• Đa giác rất đơn giản; hình ở giữa cho thấy một đa giác đơn giản gần đó. Tuy nhiên, đa giác này không đơn giản, vì nó truy cập p ba lần.$papbpqyqzq$$p$

• Đa giác là tự chéo, bởi vì các đường dẫn con b p q z và y q p a cross. Xem hình bên phải cho một số trực giác.$papbpqzqyq$$bpqz$$yqpa$

• Cuối cùng, đa giác (mà gió hai lần quanh đa giác giữa) là không tự qua, nhưng nó không đơn giản. Theo trực giác, số lần quay của đa giác này là ± 2 , trong khi số lần quay của bất kỳ đa giác đơn giản nào cũng phải là ± 1 . (Một bằng chứng chính thức đòi hỏi một số trường hợp phân tích, một phần vì số lượng biến không thực sự rõ ràng cho đa giác với 0 ∘ góc!)$papbpqyqzqpapbpqyqzq$$\pm 2$$\pm 1$$0^\circ$

Cập nhật (ngày 13 tháng 9): Trong hình bên dưới, đa giác không tự vượt qua và có số 1 , nhưng nó không đơn giản. Đa giác được cho là có một số lối đi con không đơn giản , nhưng nó không có đường dẫn phụ đơn giản . (Tôi nói "có thể tranh cãi" vì không rõ cách xác định khi hai lối đi không đơn giản đi qua!)$abcabcxyzxpqrxzyx$

Vì vậy, cuối cùng, đây là câu hỏi thực tế của tôi:

• Làm thế nào nhanh chóng chúng ta có thể xác định xem một đa giác nhất định là không tự vượt qua?

• Làm thế nào nhanh chóng chúng ta có thể xác định xem một đa giác nhất định là đơn giản yếu?

Vấn đề đầu tiên có thể được giải quyết trong thời gian như sau. Vì có n đỉnh, nên có các đường con từ đỉnh đến đỉnh O ( n 2 ) ; chúng ta có thể kiểm tra xem bất kỳ đường dẫn cụ thể nào là đơn giản trong thời gian O ( n 2 ) (bằng vũ lực). Đối với mỗi cặp đường dẫn con từ đỉnh đến đỉnh đơn giản, chúng ta có thể kiểm tra xem chúng có giao nhau trong thời gian O ( n ) không . Nhưng đây không thể là thuật toán tốt nhất có thể.$O(n^5)$$n$$O(n^2)$$O(n^2)$$O(n)$

Tôi không biết liệu vấn đề thứ hai có thể được giải quyết trong thời gian đa thức hay không. Tôi nghĩ rằng tôi có thể nhanh chóng tính toán một số quay được xác định rõ ràng cho bất kỳ đa giác không đơn giản nào (trừ khi liên kết các cạnh đa giác chỉ là một đường dẫn, trong trường hợp đó đa giác phải đơn giản yếu); xem câu trả lời của tôi dưới đây Tuy nhiên, ví dụ đa giác mới trên ngụ ý rằng không tự đi qua và quay số 1 nhưng điều đó không có nghĩa một cách yếu ớt đơn giản.

Chúng ta có thể xác định xem một đa giác đã cho có đơn giản trong thời gian bằng cách kiểm tra mọi cặp cạnh cho giao nhau hoặc trong thời gian O ( n log n ) bằng thuật toán quét tiêu chuẩn hoặc thậm chí trong thời gian O ( n ) bằng cách sử dụng Chazelle thuật toán tam giác. (Nếu đa giác đầu vào không đơn giản, bất kỳ thuật toán tam giác nào cũng sẽ đưa ra một ngoại lệ, vòng lặp vô hạn hoặc tạo ra đầu ra không phải là một tam giác hợp lệ.) Nhưng không có thuật toán nào trong số các thuật toán này giải quyết được các vấn đề tôi hỏi. $O(n^2)$$O(n\log n)$$O(n)$

¹ Branko Grünbaum. Đa giác: Meister đã đúng và Poinsot đã sai nhưng đã thắng thế . Beiträge zur Đại số und Geometrie 53 (1): 57 Tắt71, 2012.

² Xem, ví dụ: Erik D. Demaine và Joseph O'Rourke. Thuật toán gấp hình học: Liên kết, Origami, Polyhedra . Nhà xuất bản Đại học Cambridge, 2007.

Có vẻ như câu hỏi đầu tiên có thuật toán (mặc dù điều này cũng có khả năng không tối ưu). Giả sử rằng có một giao cắt, chìa khóa để tìm thấy nó dường như là các cạnh phải được tìm thấy là ngay lập tức ở hai bên của đường dẫn chung. Do đó, chúng tôi xem xét tất cả các cặp cạnh liên tiếp. Có một số bậc hai trong số này. Nếu chúng ta tìm thấy một cặp cặp cạnh có đỉnh a b c và d e f sao cho các cạnh b c và e f giống nhau, thì chúng ta đi theo đường dẫn chung chung đến cuối và kiểm tra các cạnh rời khỏi nó. Nếu chúng tạo thành một giao thoa cùng với$O(n^3)$$abc$$def$$bc$$ef$ và d e , sau đó chúng ta đã hoàn thành, nếu không chúng ta đi đến cặp tiếp theo. Theo sau đường dẫn chung là nhiều nhất là một hoạt động thời gian tuyến tính, vì vậy toàn bộ thuật toán là O ( n 3 ) .$ab$$de$$O(n^3)$

Phân tích này có thể không chặt chẽ vì số lần một đường dẫn chung có độ dài tuyến tính sẽ được theo sau không phải là tuyến tính trong số lượng cặp. Chỉ nên có một số lượng không đổi. Tương tự, nếu độ dài của đường dẫn chung dài nhất là không đổi, thì chúng ta vẫn ổn về lượng thời gian theo đường dẫn chung. Tôi hy vọng rằng trường hợp xấu nhất xảy ra khi có một subpath duy nhất của chiều dài đó là chung choO($O(\sqrt{n})$. Sau đó, cóO(n)tương tác và trong mỗi tương tácO($O(\sqrt{n})$$O(n)$các cạnh đang được theo dõi. Vì vậy, ngay cả số lượng các cạnh được theo sau lào(n2)và giới hạn được cung cấp bởi số lượng cặp. Do đó, tôi đoán rằng giới hạn thực sự của thuật toán này làO(n2).$O(\sqrt{n})$$o(n^2)$$O(n^2)$

Theo đề nghị của Pat Morin, đây là ý tưởng của tôi để tính toán số lần lượt. Xin lỗi nếu điều này là một chút cẩu thả; Tôi vẫn đang chiến đấu với những con quỷ ký hiệu. Hơn nữa, nhận xét của Pat cho câu trả lời của Chris cho thấy rằng tôi đã bỏ qua một số trường hợp thoái hóa quan trọng. Nhưng dù sao tôi cũng sẽ đăng nó ở đây trong trường hợp người khác thấy nó hữu ích.

Đối với bất kỳ chỉ số , chúng ta hãy θ ( p i ) = θ ( p i - 1 , p i , p i + 1 ) biểu thị góc bên ngoài ký kết tại đỉnh p i ; đây là góc ngược chiều kim đồng giữa các tia → p i - 1 p i và → p i p i + 1 , bình thường đến phạm vi - pi ≤ q $i$$\theta(p_i) = \theta(p_{i-1}, p_i, p_{i+1})$$p_i$$\overrightarrow{p_{i-1}p_i}$$\overrightarrow{p_ip_{i+1}}$ . (Tất cả số học chỉ số là ngầm định mod n .) Số lần quay của P được xác định là T u r n ( P ) = $-\pi \le \theta_i \le \pi$$n$$P$ Hãy để tôi gọi một đỉnhpilà mộtspurnếugócbên trongtạipibằng0. Góc bên ngoàiθitại một spur là không rõ ràng; nó có thể làπhoặc-π. Tổng quát hơn, số lần quay củaPđược xác định rõ khi và chỉ khiPkhông có nhịp (và không có đỉnh lặp lạipi

Bây giờ giả sử chứa một bước đi có dạng p → r ⇝ s ⇝ r → q , trong đó p ≠ q và đường dẫn r ⇝ s là sự đảo ngược của đường dẫn s ⇝ r . Sau đó s là một spur; cuộc gọi r là gốc của s . Trong trường hợp này, hãy để tôi xác định các góc ngoài tại s như sau: ~ θ ( s ) = pi ⋅ s g $P$$p\mathord\to r\mathord\leadsto s\mathord\leadsto r\mathord\to q$$p\ne q$$r\mathord\leadsto s$$s\mathord\leadsto r$$s$$r$$s$$s$ (Nhưng nếu θ ( p , r , q ) = 0 ? Như Pat quan sát, điều này thực sự có thể xảy ra. Có lẽ có một số cách đệ quy để định nghĩa ˜ θ ( s

Nếu đơn giản yếu, thì có một n -gon đơn giản ˜ P tùy ý gần với P ; tet ~ s là đỉnh của ~ P gần P . Như ~ P tiếp cận P , góc nội bộ tại ~ s phương pháp tiếp cận zero. Nó không khó để chứng minh (bằng quy nạp vào độ dài của r ⇝ s ) mà góc bên ngoài θ ( ~ s ) phương pháp tiếp cận ~ θ ( s ) .$P$$n$$\tilde{P}$$P$$\tilde{s}$$\tilde{P}$$P$$\tilde{P}$$P$$\tilde{s}$$r\mathord\leadsto s$$\theta(\tilde{s})$$\tilde\theta(s)$

Nếu bao gồm toàn bộ các bộ tiếp theo sự đảo ngược của nó, r ⇝ s ⇝ r , sau đó các góc ngoài tại thúc đẩy r và s vẫn chưa được xác định rõ. Nhưng trong trường hợp này, tôi tin rằng P là một cách yếu ớt đơn giản nếu và chỉ nếu đi bộ r ⇝ s là phi tự qua. (Có nhiều trường hợp phức tạp hơn trong đó tôi không thể xác định số quay được sửa đổi hợp lý, cụ thể, nếu đa giác di chuyển qua lại trong một lần đi bộ. Nhưng trong tất cả các trường hợp như vậy, dường như đa giác rất đơn giản nếu và chỉ khi nó là không tự vượt qua.)$P$$r\mathord\leadsto s\mathord\leadsto r$$r$$s$$P$$r\mathord\leadsto s$

Ngược lại, nếu chúng ta định nghĩa đối với bất kỳ phi spur đỉnh p i , bây giờ chúng ta có một cái giếng xác định quay số ~ T u r n ( P ) = Σ i ~ θ ( p i ) / 2 π = T u r n ( ~ P ) , mà phải là ± 1 nếu P là một cách yếu ớt đơn giản.$\tilde\theta(p_i) = \theta(p_i)$$p_i$$\widetilde{Turn}(P) = \sum_i\tilde\theta(p_i)/2\pi = Turn(\tilde{P})$$\pm 1$$P$

Tôi không còn tự tin rằng có thể được tính trong thời gian tuyến tính. Khó khăn chính là việc đi bộ r ⇝ s chính nó có thể chứa spurs. Thuật toán ngây thơ mà tìm thấy thư mục gốc của mỗi spur bởi brute force thực sự mất Θ ( n 2 ) thời gian trong trường hợp tồi tệ nhất; xem xét một n -gon mà có một subwalk chiều dài Ω ( n ) mà chỉ đơn giản xen kẽ giữa hai điểm.$\widetilde{Turn}(P)$$r\mathord\leadsto s$$\Theta(n^2)$$n$$\Omega(n)$