P có chứa ngôn ngữ không thể hiểu? (Wiki cộng đồng TCS)

Trả lời: không biết

Rất cám ơn tất cả những người đã giúp tinh chỉnh câu hỏi này và các định nghĩa liên quan đến nó.

Các định nghĩa của wiki này đã cung cấp điểm khởi đầu cho wiki TCS gần đây hơn " P có chứa các ngôn ngữ có sự tồn tại độc lập với PA hoặc ZFC không? (Wiki cộng đồng TCS) ".

Wiki gần đây được ưa thích hơn vì các định nghĩa và danh pháp của nó rất phức tạp hơn so với wiki cũ này.

Đặc biệt, danh pháp wiki cũ của này không thể hiểu hiểu ngôn ngữ và TMS là thay thế trong wiki mới hơn bởi khó hiểu ngộ đạo . Ngoài các chi tiết xác định - tuy nhiên rất quan trọng - hai wiki đề cập đến một loại câu hỏi tương tự nhau. $\Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow$

Câu trả lời tiếp theo được chào đón

Câu trả lời tiếp theo được hoan nghênh (không cần phải nói), và có khả năng điều chỉnh xác định thêm là phù hợp. Một bài học chính là lớp câu hỏi này rất khó để hình thành và vẫn còn nhiều thách thức hơn để trả lời chặt chẽ.

Làm nền tảng, câu trả lời của Sasho Nikolov được đánh giá là "được chấp nhận", bởi vì nó cung cấp một công thức nắm bắt mục đích của câu hỏi: câu trả lời cho câu hỏi (dường như) không được biết.

Câu trả lời có giá trị của Philip White đã thúc đẩy định nghĩa phân loại của các TM không thể hiểu được, so với không thể hiểu được, so với không thể hiểu được về mặt kinh điển (theo danh sách "các định nghĩa được phân loại không thể hiểu được" bên dưới).

Tuyên bố sau đây của câu hỏi tạm thời kết hợp những hiểu biết và đề xuất có giá trị được cung cấp bởi Tsuyoshi Ito, Marzio De Biasi, Huck Bennett, Ricky Demer, Peter Shor, và cũng là một bài đăng weblog có giá trị của Luca Trevisan .

Định nghĩa chính thức

Máy Turing không thể hiểu được được định nghĩa (trong ZFC) như sau:

D1 Với một máy Turing M có thể dừng lại một cách có thể chứng minh cho tất cả các chuỗi đầu vào, M được gọi là không thể hiểu được nếu tuyên bố sau đây không thể chứng minh cũng không thể bác bỏ được cho ít nhất một số thực bán chính xác : $r$

Tuyên bố: Thời gian chạy của M là đối với độ dài đầu vào ${O}(n^r)$ $n$

Ngược lại, M được gọi là iff dễ hiểu, nó không thể hiểu được.

Định hướng quyết định

Mục từ Wikipedia " Vấn đề không thể giải quyết được: Ví dụ về các tuyên bố không thể giải quyết được " đánh giá chính xác các ý nghĩa khác nhau của thuật ngữ "không thể giải quyết được" theo thông lệ trong tài liệu lý thuyết chứng minh so với tính toán-lý thuyết. Nhằm tránh sự mơ hồ, các định nghĩa và câu hỏi được sử dụng chỉ sử dụng thuật ngữ "không thể chứng minh cũng không thể bác bỏ được".

Tài liệu tham khảo thêm về vấn đề này là ghi chú khóa học của Jeremy Avigad " Không đầy đủ thông qua vấn đề dừng ", bài tiểu luận weblog của Scott Aaronson " Định lý Rosser qua máy Turing " và bài đăng trên web của Luca Trevisan Hai câu hỏi thú vị .

Về sự tồn tại của máy Turing không thể hiểu được

Những cỗ máy Turing không thể hiểu được đó tồn tại theo cách cụ thể từ một công trình của Emmanuele Viola và rộng rãi từ khuôn khổ lý thuyết phức tạp của Juris Hartmanis. Cụ thể, việc xây dựng của Viola cung cấp, thông qua các phương pháp ghi chú khóa học của Jeremy Avigad (theo tôi hiểu), bổ đề sau:

Bổ đề [Hàm ý của Viola]
(nếu một ngôn ngữ L được chấp nhận bởi một TM dễ hiểu) (L được chấp nhận bởi một TM không thể hiểu được). $\to$

Tôn trọng sự tự nhiên trong việc xác định sự khó hiểu

Thật tự nhiên khi tự hỏi liệu hàm ý ngược lại với Hàm ý của Viola có đúng không.

Các cân nhắc về tính tự nhiên đòi hỏi hàm ý ngược phải được đặt ra một cách cẩn thận, trong nhận xét của Philip White dưới đây cho thấy làm thế nào để giảm đáng kể các TM không thể hiểu được đối với các TM có thể hiểu được thông qua các polylimiter , là các mô-đun tính toán (trong thực tế) như để giảm nó thành một máy dễ hiểu.

Đặc biệt, điều tự nhiên là yêu cầu chúng tôi không che giấu một cách thiếu thẩm mỹ các yếu tố cũ không thể hiểu được bằng cách giới thiệu các yếu tố mới không thể hiểu được . Thách thức chính liên quan đến câu hỏi được đặt ra là "Có tồn tại một định nghĩa tự nhiên về sự không thể hiểu được không?" Câu hỏi đó (được đưa ra thảo luận ở đây về TCS) có lẽ chúng ta nên coi là một câu hỏi meta không cần thiết có thể có nhiều câu trả lời tự nhiên.

Theo quan điểm của nguyên tắc tự nhiên hướng dẫn này, các định nghĩa được phân loại về tính không thể hiểu được được chỉ định như sau.

Phân loại định nghĩa không thể hiểu

$r$ $r$

D3 Chúng tôi nói rằng một ngôn ngữ L không thể hiểu được nếu nó được chấp nhận bởi (a) ít nhất một máy Turing M vừa hiệu quả vừa không thể hiểu được, và hơn nữa (b) không có TM hiệu quả và dễ hiểu nào có thể chứng minh được (trong ZFC) L.

D4 Chúng tôi nói rằng một TM không thể hiểu được là không thể hiểu được nếu ngôn ngữ mà nó chấp nhận là không thể hiểu được.

D5 Chúng tôi nói rằng một TM mạnh mẽ không thể hiểu được là không thể hiểu được về mặt kinh tế nếu nó hiệu quả.

Các định nghĩa này đảm bảo rằng mọi ngôn ngữ không thể hiểu được đều được chấp nhận bởi ít nhất một TM không thể hiểu được về mặt kinh điển, và hơn nữa - theo quan điểm của D3 (a) và D3 (b) - không tồn tại sự giảm thiểu polylimiter của TM không thể hiểu được về TM điều đó chứng minh có thể nhận ra cùng một ngôn ngữ.

Ba câu hỏi

Q1 Liệu lớp phức tạp P chứa ngôn ngữ không thể hiểu được?

Câu 2 Có thể trình bày cụ thể ít nhất một ngôn ngữ khó hiểu không? (nếu vậy, cung cấp một ví dụ mang tính xây dựng).

Câu 3 Có thể trình bày cụ thể ít nhất một TM không thể hiểu được về mặt kinh tế không? (nếu vậy, cung cấp một ví dụ mang tính xây dựng).

Động lực

Các đặc tính không thể hiểu được của lớp phức tạp P cản trở sự hiểu biết về một loại vấn đề rộng lớn (đối với người đề xuất ban đầu của câu hỏi này ) bao gồm Câu đố đảo mắt xanh của Terry Tao, Trò chơi Urn-Choice của Ken Regan , và sự lai ghép của chúng trong bối cảnh Nghịch lý của Newcomb thông qua Trò chơi Newcomb Cân bằng .

Như chuyên khảo của Juris Hartmanis tính toán khả thi và tính chất phức tạp có thể chứng minh (1978) đưa ra:

Kết quả về độ phức tạp của các thuật toán thay đổi hoàn toàn nếu chúng ta chỉ xem xét các thuộc tính của các tính toán có thể được chứng minh chính thức.

Cuộc đấu tranh để xây dựng các định nghĩa được đặt ra và định nghĩa rằng nắm bắt được cái nhìn sâu sắc của Hartmanis giúp chúng ta đánh giá cao hơn rằng lớp P phức tạp có một số ngôn ngữ đặc biệt trong đó, được công nhận bởi các máy Turing cực kỳ đặc biệt, hiện tại chúng ta có ( ) rất xa nắm bắt. Điều đáng chú ý là trong một ý nghĩa hoàn toàn nghiêm ngặt, hiện tại vẫn chưa biết liệu lớp P phức tạp có thể hiểu được hay không.

Rất cám ơn được gửi đến tất cả những người đã đóng góp ý kiến và câu trả lời.

— John Sidles
nguồn

Vui lòng xác định thuật ngữ (một máy Turing) có thể quyết định trong P.

— Tsuyoshi Ito

Trong bài toán được nêu trong định nghĩa của không thể hiểu được trong P, thì chính xác thì đầu vào là gì? Là phần máy Turing của đầu vào hoặc cố định? Ngoài ra, làm thế nào là một số thực được chỉ định là một chuỗi?

— Tsuyoshi Ito

r

$r$

M

$M$

Như Sasho đã giải thích trước, vấn đề được nêu trong định nghĩa về không thể hiểu được của Hồi giáo trong phiên bản 4 là có thể quyết định cho mọi M. Tôi sợ rằng bạn đang mắc một lỗi cơ bản ở đây. Nếu bạn vẫn gặp khó khăn trong việc hiểu nó, bài đăng này của Raphael và liên kết trong đó có thể hữu ích. Tôi đã bỏ phiếu để đóng cái này không phải là một câu hỏi thực sự.

— Tsuyoshi Ito

C n^{k}

$Cn^k$

C

$C$

k

$k$

Câu trả lời:

(Tôi đang nghỉ hưu vì không còn liên quan đến phần câu trả lời chỉ giải thích tại sao không có trường hợp không thể giải quyết được của một vấn đề / không có thuật toán đa thời gian với giới hạn thời gian không thể tính toán được)

$T$ $M$ $M$ $T$ . Theo một cách nào đó, Luca trả lời câu hỏi của bạn ở đây. Ông cho thấy rằng:

$M$ $M$
$M$ $M'$

Vì vậy, có vẻ như câu trả lời cho câu hỏi của bạn là "không": bất kỳ ngôn ngữ nào có thể quyết định trong polytime bởi một số máy được quyết định bởi một máy đa thời gian có thể chứng minh được. Nhưng có lẽ câu hỏi của bạn nên là:

$M$ $M'$ $M$ hay không thể được chứng minh (trong ZFC) để chạy trong thời gian đa thức.

Tôi nghi ngờ rằng câu trả lời là có, nhưng hiện tại tôi không còn thời gian để dành cho việc này nữa.

— Sasho Nikolov
nguồn

------ Có hai ý nghĩa riêng biệt của từ không thể giải quyết được trong toán học và khoa học máy tính. Đầu tiên trong số này là ý nghĩa lý thuyết bằng chứng được sử dụng liên quan đến các định lý của Gôdel, về một tuyên bố không thể chứng minh cũng không thể bác bỏ trong một hệ thống suy diễn cụ thể. ... Bởi vì hai ý nghĩa của từ không thể giải quyết được, thuật ngữ độc lập đôi khi được sử dụng thay vì không thể giải thích được cho ý nghĩa "không thể chứng minh cũng không thể bác bỏ".

— John Sidles

Cảm ơn, Sasho! Tôi cũng nhận được sự đánh giá cao này, nhưng định đề có thể được sửa đổi thông qua sự khác biệt của Wikipedia: "Có hai ý nghĩa riêng biệt của từ không thể giải quyết được trong toán học và khoa học máy tính. của một tuyên bố là không thể chứng minh được hoặc không thể bác bỏ trong một hệ thống suy diễn cụ thể ... Bởi vì hai ý nghĩa của từ không thể giải quyết được, thuật ngữ độc lập đôi khi được sử dụng thay vì không thể giải thích được theo nghĩa 'không thể chứng minh được hoặc không thể bác bỏ'. " Vì vậy, tôi hy vọng sẽ làm rõ câu hỏi sau ngày hôm nay.

— John Sidles

Được thúc đẩy phần lớn bởi những bình luận chu đáo của bạn, thuộc tính mơ hồ "có thể quyết định" giờ đã được thay thế bằng thuộc tính (hy vọng không mơ hồ) 'không thể chứng minh cũng không thể bác bỏ.' Mà sự giúp đỡ của bạn được đánh giá cao và cảm ơn được đưa ra.

— John Sidles

vui lòng kiểm tra câu trả lời cập nhật của tôi

— Sasho Nikolov

Cảm ơn bạn, Sasho. Tôi cũng phải nghỉ ngơi cho đến ngày mai, tuy nhiên lần đầu tiên đọc đề nghị cuối cùng của bạn có vẻ rất hiệu quả, và tôi hy vọng sẽ sớm trả lời nó. Cảm ơn một lần nữa.

— John Sidles

Chỉ cần một bình luận mở rộng cố gắng để giải thích câu hỏi.

$M$ mà~~được hứa sẽ dừng lại~~ $M$ khi và chỉ khi có ít nhất một~~số thực bán chính xác~~ $r$ như sau~~câu hỏi~~ $Q_{M,r}$

LỰA CHỌN 1

$Q_{M,r}(n)$ $M$ $n^r$ $n$

$2^n$ $M$ $\Rightarrow$

LỰA CHỌN 2

$Q_{M,r}$ $M$ $O(n^r)$

$\Rightarrow$

Và nếu bạn hỏi: "Ok, nhưng chúng ta có thể tính giá trị 1 hoặc 0 để xây dựng thuật toán trả lời câu hỏi của Tùy chọn 2 không?", Thì chúng ta sẽ quay lại vấn đề này:

$Q_{r}(M)$ $M$ $O(n^r)$ $M$

— Marzio De Biasi
nguồn

Marzo, cảm ơn bạn cho câu trả lời này và cho nhận xét của bạn ở trên. Thuật ngữ mơ hồ "có thể quyết định" đã bị loại bỏ --- nó có nghĩa là những điều khác nhau đối với các cộng đồng khác nhau --- ủng hộ thành ngữ lý thuyết bằng chứng "không thể chứng minh cũng không thể bác bỏ". Đối với hàng đợi sửa đổi làm rõ cho phiên bản câu hỏi được chỉnh sửa vào ngày mai (hy vọng sẽ là câu hỏi nghiêm ngặt cuối cùng của câu hỏi), cụm từ "Dành cho tất cả n " sẽ được bổ sung, theo Lựa chọn của bạn 1. Và cuối cùng, sự đánh giá cao và cảm ơn được mở rộng cho bạn và cho tất cả mọi người, để được giúp đỡ trong việc đặt câu hỏi một cách chặt chẽ và rõ ràng.

— John Sidles

M

$M$

M

$M$

O (n^{r})

$O(n^r)$

M

$M$

O (n^{r})

$O(n^r)$

Marzo, OK và cảm ơn. Ngoài ra, để thiết lập "Ý nghĩa của Viola", chúng tôi phải tham gia lập luận từ Phần 3 của ghi chú khóa học của Jeremy Avigad (như được liên kết trong câu hỏi) với việc xây dựng của Viola ... câu hỏi được sửa đổi sẽ làm rõ điểm này. Không cần phải nói, quá trình làm rõ các định nghĩa đã khó khăn hơn 10 lần so với dự đoán ban đầu của tôi ... có lẽ đó là một điểm chính của câu hỏi. Cảm ơn, một lần nữa.

— John Sidles

Câu trả lời cho câu hỏi số 1 của bạn chắc chắn là "không." Như tôi tin rằng ai đó đã chỉ ra trong phần bình luận (rất dài), bạn có thể dễ dàng thêm "đa hình" vào máy. Đó là, ngay cả khi bạn không biết r là gì, nếu bạn đoán bất kỳ số nguyên nào lớn hơn r (điều này chắc chắn là có thể, rõ ràng), bạn có thể thiết lập một máy trên cao mô phỏng máy Turing "không thể hiểu được" của mình và buộc nó ngừng chạy trong thời gian đa thức ... mà không thay đổi ngôn ngữ mà máy Turing chấp nhận. Theo cách này, bạn có thể chuyển đổi bất kỳ máy Turing thời gian "không thể hiểu" nào thành máy Turing thời gian đa thức "dễ hiểu", nghĩa là không có ngôn ngữ nào trong P có thể được quyết định bằng máy Turing "không thể hiểu được".

Tôi hi vọng cái này giúp được. Trừ khi tôi hoàn toàn hiểu sai câu hỏi của bạn và ý định của bạn, câu trả lời của tôi hoàn toàn chính xác; Đó hoàn toàn không phải là một câu hỏi mở.

— Philip White
nguồn

Nhân tiện, nếu bạn muốn có một ví dụ tốt về một ứng cử viên cho cái mà bạn gọi là thuật toán "không thể hiểu được", hãy xem scholarpedia.org/article/Universal_search . Thuật toán tìm kiếm phổ quát để giải SAT tuân thủ định nghĩa của bạn về iff P = NP không thể hiểu được là độc lập chính thức.

— Philip White

Bạn có biết gì về câu hỏi cuối cùng từ câu trả lời của tôi không? Tôi tin rằng đó là câu hỏi duy nhất vẫn chưa rõ ràng tầm thường..cho tôi đó là

— Sasho Nikolov

@Philip White, định nghĩa được xây dựng cẩn thận để trốn tránh công trình bạn cung cấp. Bởi vì giả sử rằng thời gian chạy của M là không thể giải quyết được đối với một số số mũ r và chúng tôi đoán giá trị r ' > r và chúng tôi cài đặt r' -polylimiter trong một máy được sửa đổi M 'nhận ra cùng ngôn ngữ với M, sau đó cho M' câu lệnh "Thời gian chạy của M 'là O (n ^ r) đối với độ dài đầu vào n" vẫn không thể xác định được. Mặc dù vậy, tôi đồng ý rằng chúng ta cần phải suy nghĩ cẩn thận về việc liệu TẤT CẢ các trò chơi mèo và chuột với các phép đa hình được chỉ định bởi nhà tiên tri có bị loại trừ (như ý định) --- và vì vậy tôi đã nêu lên câu trả lời của bạn!

— John Sidles

Ồ, và vì nhận xét của Sasho chồng chéo lên tôi, xin hãy để tôi bày tỏ sự đánh giá cao về câu hỏi cuối cùng trong câu trả lời của Sasho , điều này (theo cách hiểu hiện tại của tôi về nó) cản trở một cách khéo léo việc giới thiệu các polylimiter có nguồn gốc từ orory. Như trước đây, tôi sẽ phải suy nghĩ về điều này trong một hoặc hai ngày. Cảm ơn bạn một lần nữa, Philip.

— John Sidles

Xin lỗi, tôi nên đọc câu trả lời của Sasho Nikolov cẩn thận hơn; Tôi chỉ thấy từ "có", rất tiếc. Tôi sẽ xem xét câu hỏi cuối cùng trong giây lát và xem liệu tôi có điều gì hữu ích để nói không.

— Philip White