Đồ thị con không hoàn hảo

Xem xét vấn đề sau: Đưa ra biểu đồ truy vấn và biểu đồ tham chiếu , chúng tôi muốn tìm ánh xạ tiêm truyền để giảm thiểu số lượng các cạnh sao cho . Đây là một khái quát của vấn đề đẳng cấu đồ thị con , trong đó chúng ta cho phép các sơ đồ con có cấu trúc đẳng hình đến một vài cạnh bị thiếu và muốn tìm cách giảm thiểu số lượng các cạnh bị thiếu. $G = (V, E)$ $G' = (V', E')$ $f : V \rightarrow V'$ $(v_1, v_2) \in E$ $(f(v_1), f(v_2)) \notin E'$

Tôi cũng sẽ quan tâm đến phiên bản có trọng số của vấn đề này, trong đó các cặp đỉnh $(v_1, v_2) \in V^2$ mang trọng số $w(v_1, v_2)$ (phải bằng 0 nếu $(v_1, v_2) \notin E)$ và tương tự cho $G'$ và chúng tôi muốn thu nhỏ $\sum_{v_1, v_2} (\max(0, w(v_1, v_2) - w(f(v_1), f(v_2))))$ ( $\max$ có để chỉ phạt các trọng số từ biểu đồ truy vấn lớn hơn các trọng số của biểu đồ tham chiếu).

Câu hỏi của tôi là: Vấn đề này đã được nghiên cứu chưa? Liệu nó có một cái tên nổi tiếng? Có bất kỳ thuật toán xấp xỉ hiệu quả được biết đến?

Động lực của vấn đề này (ngoài thực tế là nó có vẻ như là sự khái quát hóa tự nhiên của vấn đề đẳng cấu đồ thị con) là một cách hay để lập kế hoạch bàn cho một bữa tiệc: biểu đồ truy vấn là biểu đồ của khách có trọng số cạnh đại diện cho mức độ mà hai người muốn tương tác, biểu đồ tham chiếu có các vị trí bàn là các đỉnh và trọng số cạnh cho biết mức độ giao tiếp nào có thể, giải pháp của vấn đề là ánh xạ từ người sang ghế bàn tôn trọng cấu trúc xã hội mức độ đầy đủ nhất có thể.

— a3nm
nguồn

Tại sao bạn cần "cảm ứng" trong tiêu đề?

— Yota Otachi

@Yota Otachi: Vì tôi đã làm hỏng. Cảm ơn!

— a3nm

Vấn đề của bạn là Bài toán đồ thị cạnh chung tối đa (Max CES) được xác định như sau: đưa ra hai biểu đồ và , tìm một đồ thị có số cạnh tối đa là đẳng cấu của biểu đồ con của và cho sơ đồ con của . $G$ $G'$ $H$ $G$ $G'$

Chứng minh : Bạn đang tìm một sơ đồ con của đẳng cấu với một sơ đồ con của , trong đóđược giảm thiểu. Vìlà một bất biến của , được giảm thiểu khi và chỉ khiđược tối đa hóa. Rõ ràng, là đẳng cấu của một sơ đồ con của và với một sơ đồ con của . QED $H$ $G$ $G'$ $|E_{G}| - |E_{H}|$ $|E_{G}|$ $G$ $|E_{G}| - |E_{H}|$ $|E_{H}|$ $H$ $G$ $G'$

Tính gần đúng. Trong luận án tiến sĩ của Kann, tôi đã tìm thấy mô tả "không biết là gần đúng trong một hằng số" [3] (trang 115). Trong một bài báo gần đây của Bahiense et al. [1], nó được đề cập rằng nếuvàkhông bắt buộc phải bằng nhau, vấn đề trở nên khó khăn với APX. Nhưng trích dẫn cho kết quả này là một giao tiếp riêng tư chưa được công bố [2]. $|V_{G}|$ $|V_{G'}|$

L. Bahiense, G. Manic, B. Piva, CC de Souza. Vấn đề đồ thị cạnh phổ biến tối đa: Một cuộc điều tra đa diện. Toán học ứng dụng rời rạc, để xuất hiện. doi: 10.1016 / j.dam.2012.01.026
MM Halldorsson, Giao tiếp cá nhân, bản thảo chưa xuất bản, 1994.
V. Kann. Về tính gần đúng của các vấn đề tối ưu hóa hoàn thành NP. Bằng tiến sĩ. Luận văn, báo cáo của NADA TRITA-NA-9206, 1992. http://www.nada.kth.se/~viggo/ con / phdthesis.pdf

— Yota Otachi
nguồn

Có vẻ như điều này thực sự tương đương với vấn đề của tôi. Cảm ơn rất nhiều! Bạn có biết kết quả trên phiên bản có trọng số của Max CES không?

— a3nm

Tôi không có ý tưởng về phiên bản có trọng số. Tôi nghĩ phải là , phải không?

max_{v_{1}, v_{2}} max (\dots)

$\max_{v_1,v_2} \max (\ldots)$

\sum_{v_{1}, v_{2}} max (\dots)

$\sum_{v_1,v_2} \max (\ldots)$

— Yota Otachi

Đúng, tổng sẽ tự nhiên hơn nếu chúng ta muốn khái quát trường hợp không trọng số, mặc dù tôi đoán nó có thể có ý nghĩa để giảm thiểu tổng bình phương hoặc bất kỳ chức năng nào của chênh lệch trọng lượng.

— a3nm

Cảm ơn đã chỉnh sửa. Tôi đồng ý, việc sử dụng tổng số chênh lệch trọng lượng (hoặc bất kỳ chức năng nào trên đó) là điều tự nhiên.

— Yota Otachi