Sự phức tạp của vấn đề bao trùm này là gì?

Chỉnh sửa: Trước tiên tôi đã định dạng sai ràng buộc của mình (2), bây giờ nó đã được sửa. Tôi cũng đã thêm thông tin và ví dụ.

Với một số đồng nghiệp, nghiên cứu một số câu hỏi thuật toán khác, chúng tôi có thể giảm vấn đề của chúng tôi xuống vấn đề thú vị sau đây, nhưng chúng tôi không thể giải quyết câu hỏi về độ phức tạp của nó. Vấn đề như sau.

Sơ thẩm: Một số nguyên , một số nguyên và một bộ của cặp từ bộ .k < n S = { { s 1 , t 1 } , ... , { s n , t n } } n { 1 , ... , n $n$$k<n$$S=\{\{s_1,t_1\},\ldots,\{s_n,t_n\}\}$$n$$\{1,\ldots,n\}$

Câu hỏi: Có tập hợp có kích thước sao cho mỗi phần tử của : (1) nếu , khoảng là được bao gồm trong một số khoảng được xác định bởi một cặp trong và (2) ít nhất một trong số , thuộc về một số cặp ? (2) thuộc một số cặp .k i { 1 , ... , n } i < n [ i , i + 1 ] [ s i , t i ] S ' i i + 1 S ' i S $S'\subseteq S$$k$$i$$\{1,\ldots,n\}$
$i<n$$[i,i+1]$$[s_i,t_i]$$S'$
$i$$i+1$$S'$
$i$$S'$

Ví dụ
Tập hợp là một giải pháp khả thi (giả sử là số chẵn): cặp đảm bảo điều kiện (1), trong khi tất cả các cặp khác đảm bảo điều kiện (2).n { 1 , n $\{\{i,i+1\}~|~i~\text{ is odd}\}\cup\{1,n\}$$n$$\{1,n\}$

Lưu ý
(I) Vì mỗi cặp chứa chính xác hai yếu tố, để đáp ứng điều kiện (2), chúng tôi cần ít nhất các cặp . BTW này ngụ ý một xấp xỉ 2 tầm thường bằng cách trả về toàn bộ , vì chúng ta giả sử . S| S| ≤$\frac{n}{2}$$S$$|S|\leq n$

(II) Một cách khác để xem xét vấn đề là xem xét một thang có bước (chẳng hạn như bước dưới đây ), cùng với một tập hợp gồm chu kỳ của thang. Mỗi bước của thang tương ứng với một số phần tử và mỗi cạnh bên là một khoảng . Một chu trình bao gồm các bước tương ứng chính xác với một cặp : nó bao gồm tất cả các khoảng liên tiếp giữa và và nó dừng lại ở cả và . Câu hỏi đặt ra là liệu có một tập hợp củaS n [ i , i + 1 ] s , t { s , t } s t s t S ' ⊆ S $n$$S$$n$$[i,i+1]$$s,t$$\{s,t\}$$s$$t$$s$$t$
$S'\subseteq S$$k$chu kỳ có liên kết bao gồm tất cả các cạnh của thang (bao gồm các cạnh bước và cạnh bên).

(III) Nếu chỉ yêu cầu điều kiện (1), thì vấn đề sẽ tương ứng với vấn đề tập hợp thống trị trong một số biểu đồ khoảng được xác định từ các khoảng được đưa ra bởi các cặp cùng với các khoảng nhỏ bổ sung cho mỗi trong . Vấn đề này có thể giải quyết theo thời gian tuyến tính (xem ví dụ ở đây ). Tương tự, nếu người ta chỉ yêu cầu điều kiện (2), điều này có thể được giảm xuống thành vấn đề che cạnh (các đỉnh là các phần tử, các cạnh là các cặp), cũng có thể giải được theo thời gian đa thức bằng cách tiếp cận khớp tối đa.S [ i + ε , i + 1 - ε ] i { 1 , ... , n - 1 $[s_i,t_i]$$S$$[i+\epsilon,i+1-\epsilon]$$i$$\{1,\ldots, n-1\}$

Vì vậy, câu hỏi của tôi là trong tiêu đề:

Có phải vấn đề này ở P? Là NP-hoàn thành?

Bất kỳ tham chiếu đến một vấn đề tương tự đều được chào đón.

Mặc dù điều này không giải quyết được câu hỏi bạn nêu ra, một số ý kiến ​​trước đây xem xét các thuật toán gần đúng. FWIW, tôi nghĩ rằng một PTAS (sơ đồ xấp xỉ đa thời gian) có thể sử dụng lập trình động. Đây là ý tưởng.

Cho bất kỳ trường hợp nào và , xây dựng một giải pháp như sau. Đánh dấu mỗi đỉnh ( 1 / ϵ ) '. Đối với mỗi đỉnh i được đánh dấu , từ tất cả các cạnh ( j , k ) "span" i (nghĩa là thỏa mãn ràng buộc (1) cho i ), chọn một cạnh giảm thiểu j và một cạnh giảm thiểu tối đa k . Thêm những 2 ε n cạnh vào dung dịch.$\epsilon > 0$$(1/\epsilon)$$i$$(j,k)$$i$$i$$j$$k$$2 \epsilon n$

Các cạnh này thỏa mãn các ràng buộc của loại (1) cho nhiều đỉnh. Trong khi đó, họ đóng góp cho giải pháp, chỉ có O ( ϵ OPT ) . Để kết thúc, chúng ta sẽ tìm một giải pháp tối ưu cho vấn đề còn lại là tìm một tập hợp các cạnh đáp ứng tất cả các ràng buộc loại còn lại (1) và loại (2).$2n\epsilon$$O(\epsilon \mbox{OPT})$

$1/\epsilon$

$1/\epsilon$$1/\epsilon$$1/\epsilon$$1/\epsilon^2$

$i$$(C_i, C_{i+1})$$F_i(C_i,C_{i+1})$$S$$C_i\cup S \cup C_{i+1}$$2^{1/\epsilon^2} = O(1)$

$D_1, D_2, .., D_k$$\sum_i |D_i| + F_i(D_i, D_{i+1})$$F_i$$|D_i| + F_i(D_i, D_{i+1})$$D_i$$i$$D_{i+1}$$i+1$$O(2^{1/\epsilon^2} n)$$O(n)$$\epsilon$