Như những người khác đã chỉ ra, có những khó khăn kỹ thuật nhất định với tuyên bố câu hỏi của bạn. Để làm rõ chúng, hãy bắt đầu bằng cách tránh sử dụng thuật ngữ "không thể chứng minh" mà không đủ điều kiện và rõ ràng về tập hợp tiên đề nào mà tuyên bố T của bạn được cho là không thể chứng minh được. Chẳng hạn, giả sử rằng chúng ta quan tâm đến các câu T không thể chứng minh được từ PA, các tiên đề của số học Peano bậc nhất.
Điều khó chịu đầu tiên là "T là đúng" không thể diễn tả bằng ngôn ngữ số học thứ nhất, theo định lý của Tarski. Chúng ta có thể giải quyết vấn đề này bằng cách làm việc trong một siêu máy tính đủ mạnh để xác định sự thật của một tuyên bố hợp lý, nhưng tôi nghĩ với mục đích của bạn, đây là một con đường phức tạp không cần thiết phải thực hiện. Tôi nghĩ rằng bạn không quá quan tâm đến sự thật nhưng sẽ chứng minh được. Đó là, tôi nghi ngờ bạn sẽ hài lòng với việc xác định T là Godel_0 nếu T đúng nhưng không thể chứng minh được trong PA và xác định T là Godel_1 nếu T không thể chứng minh được trong PA nhưng "T không thể chứng minh được trong PA" là không thể chứng minh được trong PA, và định nghĩa T là Godel_2 nếu T không thể chứng minh được trong PA và "T không thể chứng minh được trong PA" là không thể chứng minh được trong PA nhưng "'T không thể chứng minh được trong PA' là không thể chứng minh được trong PA", không thể chứng minh được trong PA ", v.v.
Điều này đủ để làm cho câu hỏi của bạn chính xác, nhưng thật không may, sau đó có một giải pháp khá tầm thường. Lấy T = "PA là nhất quán." Thì T đúng vì PA phù hợp và T không thể chứng minh được trong PA theo định lý bất toàn thứ 2 của Goedel. Hơn nữa, "T là không thể chứng minh được trong PA" cũng không thể chứng minh được trong PA vì một lý do hơi ngớ ngẩn: bất kỳ tuyên bố nào của mẫu "X là không thể chứng minh được trong PA" là không thể chứng minh được trong PA vì "X không thể chứng minh được trong PA" "(vì các hệ thống không nhất quán chứng minh mọi thứ ). Vì vậy, T là Godel_n cho tất cả n, nhưng tôi không thực sự hiểu câu hỏi của bạn.
Chúng tôi có thể cố gắng "vá" câu hỏi của bạn để tránh những chuyện nhỏ nhặt như vậy, nhưng thay vào đó, hãy để tôi cố gắng giải quyết những gì tôi nghĩ là câu hỏi của bạn. Một cách khéo léo, tôi tin rằng bạn đang kết hợp sức mạnh logic cần thiết để chứng minh một định lý với khó khăn tâm lýchứng minh điều đó Đó là, bạn diễn giải một kết quả của mẫu "T là không thể chứng minh được trong X" khi nói rằng T bằng cách nào đó vượt quá khả năng hiểu biết của chúng tôi. Có những phỏng đoán quái dị ngoài kia, và chúng tôi trừng phạt con người bẻ khóa roi PA hoặc roi ZFC hoặc những gì bạn có ở những con thú hung dữ đó, cố gắng chế ngự chúng. Nhưng tôi không nghĩ rằng "T là không thể chứng minh được trong X" nên được hiểu là "T là không thể lý do." Thay vào đó, nó chỉ đo một thuộc tính kỹ thuật cụ thể về T, cụ thể là độ mạnh logic của nó. Vì vậy, nếu bạn đang cố gắng tìm ra quái vật über, tôi không nghĩ rằng việc tìm kiếm thứ gì đó không chỉ không thể chứng minh được mà còn không thể chứng minh được là không thể chứng minh được, v.v., là hướng đi đúng đắn.
Cuối cùng, liên quan đến câu hỏi của bạn về việc liệu khả năng không có khả năng có vẻ liên quan đến khả năng phân tách của các lớp phức tạp hay không, có một số mối liên hệ giữa độ khó tính toán và tính không khả thi trong một số hệ thống số học bị ràng buộc. Một số điều này được đề cập trong bài báo của Aaronson mà bạn trích dẫn; xem thêm cuốn sách của Cook và Nguyễn Những nền tảng logic của độ phức tạp chứng minh .