Vấn đề tối ưu hóa khó nhất trong NC

8

Khi học các vấn đề tối ưu hóa, chúng ta thường coi lập trình tuyến tính (hay nói chung hơn là: tối ưu hóa lồi) là ví dụ đơn giản nhất. Nó có thể giải được trong thời gian đa thức, và có các thuật toán tương đối dễ hiểu. Tuy nhiên, phiên bản quyết định của LP là . Điều này cho thấy rằng đó là một trong những vấn đề khó nhất mà chúng ta có thể giải quyết trong thời gian đa thức. $\mathsf{P}$

Theo giả định rằng . Loại vấn đề tối ưu hóa tự nhiên 'khó nhất' với các vấn đề quyết định trong gì? $\mathsf{NC} \neq \mathsf{P}$ $\mathsf{NC}$

Nếu điều này quá mơ hồ, thì chúng ta có thể hạn chế các hạn chế. Tập hợp hạn chế tối thiểu chúng ta cần đặt trên các chương trình tuyến tính (hay nói chung hơn là: chương trình lồi) để cho phép vấn đề quyết định liên quan đến các chương trình bị hạn chế có thể giải quyết được trong ? $\mathsf{NC}$

Động lực

Ở một mức độ lớn, đây là sự tò mò nhàn rỗi. Tuy nhiên, nó đã được Cosma Shalizi đưa ra " Ở Liên Xô, vấn đề tối ưu hóa giải quyết bạn ". Đặc biệt, nếu LP quá khó giải quyết để có nền kinh tế tập trung (tức là tối ưu hóa trong đang yêu cầu quá nhiều), thì bất kỳ hệ thống phi tập trung nào cũng phải thực hiện một số cách xử lý song song nhanh hơn đa thời gian (đối với tôi : ). $\mathsf{P}$ $\mathsf{NC}$

cc.complexity-theory optimization linear-programming

— Artem Kaznatcheev
nguồn

Vì NC là hệ thống phân cấp, nên bạn khó có thể tìm thấy vấn đề "khó nhất" trong NC (chính xác hơn: NC không có vấn đề hoàn chỉnh trừ khi hệ thống phân cấp NC sụp đổ). Tương tự như vậy, có lẽ không có một bộ hạn chế tối thiểu "phổ quát" nào đối với LP để đưa nó vào NC, mặc dù điều này có vẻ khó loại trừ hơn, thậm chí dựa trên các giả định tự nhiên. (Điều này không phải để làm mất đi câu hỏi - Tôi thích câu hỏi, và rõ ràng nó đã tạo ra một số câu trả lời thú vị - chỉ là một nhận xét.)

— Joshua Grochow

9

Bạn có biết về công việc trên LP / SDP tích cực không? Có một loạt các kết quả trong khu vực, chủ yếu dọc theo dòng "nếu các ràng buộc của LP / SDP là tích cực, thì vấn đề có thể được giải quyết trong NC."

Một số tài liệu tham khảo quan trọng trong dòng công việc này là Luby-Nisan 93 và Jain-Yao 11 . Một tài nguyên tuyệt vời khác là slide bài nói chuyện của Rahul Jain tại hội thảo "Tiến bộ gần đây về thuật toán lượng tử" tại IQC. Toàn bộ cuộc nói chuyện có sẵn trên youtube.

— Robin Kothari
nguồn

1

Chính xác hơn, Lập trình tuyến tính tích cực và Lập trình nửa cực dương là các vấn đề tối ưu hóa không chỉ có thể giải quyết chính xác trong thời gian đa thức (nghĩa là chúng nằm trong ), mà còn thừa nhận các sơ đồ xấp xỉ . Chúng không thể giải được chính xác trong (nghĩa là trong ) trừ khi .

P O

$\mathsf{PO}$

N C

$\mathsf{NC}$

N C

$\mathsf{NC}$

N C O

$\mathsf{NCO}$

P = N C

$\mathsf{P} = \mathsf{NC}$

— argentpepper

@argentpepper tham chiếu ở đâu rằng SDP và LP dương là -complete?

P

$P$

— T ....

2

Tôi không chắc chắn, nhưng bạn có thể quan tâm - nếu không, tôi xin lỗi - với bài viết sau , không liên quan đến một loại vấn đề tối ưu hóa tự nhiên, nhưng giải quyết một vấn đề có thể giảm xuống thành một vấn đề tối ưu hóa cụ thể , có giải pháp là trong NC.

Igor Averbakh, Oded Berman, "Các thuật toán song song NC cho các vấn đề về vị trí đa năng với giao tiếp lẫn nhau và các ứng dụng của chúng", Networks, Tập 40, Số 1, trang 1 Chuyện12, Tháng 8/2002, Wiley

DOI: 10.1002 / net.10027

trừu tượng

Vấn đề chung được nghiên cứu là xác định vị trí các cơ sở có thể phân biệt p trên cây để đáp ứng các ràng buộc giới hạn trên về khoảng cách giữa các cặp cơ sở, với điều kiện là mỗi cơ sở phải nằm trong vùng khả thi của chính nó, được xác định là cây con của cây. Chúng tôi trình bày sơ đồ vị trí song song (PLS) để giải quyết vấn đề có thể được thực hiện dưới dạng thuật toán NC. Chúng tôi cũng giới thiệu các thuật toán NC song song dựa trên PLS cho các phiên bản minimax của vấn đề, bao gồm cả vấn đề trung tâm p bị hạn chế khoảng cách với giao tiếp lẫn nhau. Kết hợp PLS và kỹ thuật tham số cải tiến của Megiddo, chúng tôi phát triển các thuật toán nối tiếp đa thức mạnh mẽ cho các vấn đề minimax; các thuật toán có độ phức tạp tốt nhất hiện có trong tài liệu.

— Quán cà phê Massimo
nguồn