Tìm một biểu đồ kép

Theo cuốn sách Lý thuyết đồ thị tôpô của Gross và Tucker, đã đưa ra một tế bào nhúng đồ thị trên một bề mặt (bởi 'bề mặt', ý tôi ở đây là một hình cầu có một số và bên dưới đề cập đến hình cầu có chính xác xử lý), người ta có thể định nghĩa một đa hình kép bằng cách coi các mặt của đồ thị ban đầu là các đỉnh và thêm một cạnh giữa hai đỉnh cho mỗi mặt mà các mặt tương ứng có điểm chung trong đồ thị gốc.S n$n\geq 0$$S_n$$n$

Đây là vấn đề của tôi . Cho một đồ thị , tôi cần tìm một đồ thị khác để tồn tại một bề mặt và một tế bào nhúng trên sao cho là đối ngẫu của phép nhúng . Tôi biết rằng có nhiều đồ thị có thể ; Tôi chỉ cần phải tìm một cho mỗi đồ thị .G ′ S G S G ′ G G ′$G$$G'$$S$$G$$S$$G'$$G$$G'$$G$

Tôi có một số câu hỏi . Chiến lược hiện tại của tôi là (1) xác định chi của , (2) tìm một phép nhúng trên và (3) tìm ra đối ngẫu của phép nhúng này. Tất cả các bước đó đều có thuật toán đã biết (mặc dù (1) là NP-Hard). Tôi tự hỏi liệu có cách nào để tìm mà bỏ qua tính toán của chi không, vì đó là nút cổ chai của phương pháp này, và đó là câu hỏi đầu tiên của tôi. Câu hỏi thứ hai của tôi là: Nếu tôi biết rằng là thường xuyên, điều đó có thể làm giảm tính toán của chi không? Và câu hỏi thứ ba của tôi là một yêu cầu cho bất kỳ tài liệu tham khảo nào có thể giúp tôi giải quyết vấn đề này.G G S n G '$n$$G$$G$$S_n$$G'$$G$

Có phải kép của bạn phải thuộc chi tối thiểu? Bởi vì việc tìm một nhúng tế bào cho bất kỳ đồ thị nào là không quan trọng: chỉ cần chọn thứ tự vòng tròn cho sự cố cạnh cho từng đỉnh, tùy ý, sau đó xác định các mặt của nhúng là các chuỗi cạnh phù hợp với thứ tự đã chọn.

Tôi thích cách trình bày GEM (bản đồ được mã hóa bằng đồ thị) về sự nhúng từ cuốn sách Những nền tảng của Lý thuyết đồ thị tô pô của Bennington và Little. Trong biểu diễn này, một nhúng được biểu thị bằng đồ thị 3 màu 3 cạnh có một đỉnh cho mỗi cờ nhúng (một bộ ba sự cố của đỉnh, cạnh và mặt) và một cạnh cho mỗi hai cờ khác nhau chỉ một trong các yếu tố của bộ đỉnh / cạnh / mặt mà chúng đại diện. Ví dụ, hình ảnh bên dưới từ Wikipedia có thể được hiểu là GEM của một khối mười hai mặt thông thường, trong đó các chu kỳ màu đỏ đại diện cho các mặt của nó, các chu kỳ màu vàng đại diện cho các cạnh của nó và các chu kỳ màu xanh đại diện cho các đỉnh của nó; các cạnh có thể được tô màu theo màu của hai mặt sự cố của chúng.

Theo thứ tự vòng tròn của các cạnh của đồ thị G, GEM của nó có thể được tìm thấy bằng cách tạo một chu kỳ gồm các đỉnh 2d cho mỗi đỉnh độ G của G, hai cho mỗi cạnh, với các cặp đỉnh cho mỗi cạnh sự cố xảy ra trong chu kỳ theo thứ tự vòng tròn đã chọn, và sau đó cho mỗi cạnh e của G liên kết hai cặp cạnh GEM cho hai điểm cuối của e thành một hình chữ nhật. Nếu bạn muốn nhúng theo định hướng, việc lựa chọn cách liên kết bốn đỉnh này thành một hình chữ nhật phải phù hợp với thứ tự vòng tròn, nếu không nó có thể tùy ý.

Sau đó, các đỉnh, cạnh và mặt của việc nhúng G được biểu thị bằng các chu kỳ trong GEM xen kẽ giữa hai trong số ba màu cạnh. Dual của G được biểu thị bằng một GEM với cùng đồ thị 3 thông thường nằm bên dưới nhưng với hai màu sắc cạnh của nó được hoán đổi. Và biểu đồ được biểu thị bằng GEM có thể được hình thành bằng cách hợp đồng tất cả các chu kỳ đỉnh của nó và hợp nhất các cặp cạnh song song thành các cạnh đơn. Vì vậy, việc xây dựng một kép G (miễn là bạn không quan tâm đến kép nào) có thể dễ dàng thực hiện trong thời gian tuyến tính.