Phân biệt giữa các trạng thái lượng tử

Với trạng thái lượng tử được chọn ngẫu nhiên từ một tập hợp trạng thái hỗn hợp , xác suất trung bình tối đa của việc xác định chính xác bao nhiêu?$\rho_A$$N$$\rho_1 ... \rho_N$$A$

Vấn đề này có thể được chuyển thành vấn đề phân biệt hai trạng thái bằng cách xem xét vấn đề phân biệt với .$\rho_A$$\rho_{B} = \frac{1}{N-1}\sum_{i\neq A}\rho_i$

Tôi biết đối với hai trạng thái lượng tử, vấn đề có một giải pháp tốt về khoảng cách theo dõi giữa các trạng thái khi bạn giảm thiểu xác suất lỗi tối đa thay vì giảm thiểu xác suất lỗi trung bình và tôi hy vọng rằng có thể có điều gì đó tương tự trường hợp này. Tất nhiên có thể viết xác suất về mặt tối ưu hóa trên POVM, nhưng tôi hy vọng điều gì đó đã được thực hiện tối ưu hóa.

Tôi biết có một tài liệu khổng lồ về khả năng phân biệt các trạng thái lượng tử và tôi đã đọc qua rất nhiều bài báo trong vài ngày qua để cố gắng tìm câu trả lời cho câu hỏi này, nhưng tôi gặp khó khăn khi tìm câu trả lời cho câu hỏi này biến thể cụ thể của vấn đề. Tôi hy vọng ai đó biết rằng văn học tốt hơn có thể giúp tôi tiết kiệm thời gian.

Nói đúng ra, tôi không cần xác suất chính xác, một giới hạn trên tốt sẽ làm. Tuy nhiên, sự khác biệt giữa bất kỳ một trạng thái và trạng thái hỗn hợp tối đa là khá nhỏ, do đó, ràng buộc sẽ phải hữu ích trong giới hạn đó.

Như bạn đã đề cập, có thể xác định xác suất thành công trung bình tối ưu bằng số, có thể được thực hiện hiệu quả thông qua lập trình semidefinite (xem ví dụ bài viết này của Eldar, Megretski và Verghese hoặc các ghi chú bài giảng này của John Watrous), nhưng không có biểu thức dạng đóng được biết đến.

Tuy nhiên, có một số giới hạn trên và dưới đã biết về xác suất lỗi (nghĩa là 1 trừ đi xác suất thành công trung bình). Về fidelities cặp, xác suất của lỗi trong thiết lập của bạn được biết đến là thấp bao bọc bởi , và bị chặn trên bởi .$\frac{1}{N^2} \sum_{i>j} F(\rho_i,\rho_j)$$\frac{2}{N} \sum_{i>j} F(\rho_i,\rho_j)^{1/2}$

Ngoài ra còn có một giới hạn thấp hơn được biết về khoảng cách theo dõi: , làm giảm đến Helstrom chính xác bị ràng buộc trong trường hợp . Xem bài viết này để so sánh tất cả những điều này, và một số giới hạn khác nữa. Lưu ý rằng tất cả các giới hạn này đều giữ trong cài đặt trường hợp trung bình khi có phân phối xác suất trước trên các trạng thái.$\frac{1}{2}(1 - \frac{1}{N(N-1)} \sum_{i>j} tr|\rho_i-\rho_j|)$$N=2$