Tính biểu cảm của Büchi vs CTL (*)

Mối quan hệ giữa tính biểu cảm của LTL , Büchi / QPTL , CTL và CTL * là gì?

Bạn có thể đưa ra một số tài liệu tham khảo bao gồm càng nhiều logic này theo thời gian càng tốt (đặc biệt là giữa thời gian tuyến tính và phân nhánh) không?

Một sơ đồ Venn với các logic thời gian và một số tính chất thực tế làm ví dụ sẽ là hoàn hảo.

Ví dụ:

• Có đúng là có các thuộc tính có thể chỉ định trong Büchi nhưng không có trong CTL * không? Bạn có một ví dụ tốt?
• Làm thế nào về Büchi và CTL nhưng không phải trong LTL?

Chi tiết:

Tính biểu cảm của logic có liên quan đến tôi hơn là các ví dụ. Thứ hai chỉ là hữu ích cho sự hiểu biết và động lực.

Tôi đã biết về định lý biểu cảm giữa CTL * và LTL từ [Clarke và Draghicescu, 1988] , nhưng không thích ví dụ thông thường về sự công bằng trong CTL và không phải trong LTL vì có rất nhiều biến thể công bằng, một số trong đó là có thể biểu thị bằng LTL.

Tôi cũng không thích ví dụ thông thường về thuộc tính Büchi đồng đều, được đưa ra, ví dụ, trong [Wolper83] về các hạn chế của LTL, vì việc thêm một biến mệnh đề khác sẽ giải quyết vấn đề ( ).$even(p) \equiv q \wedge \Box ( q \implies X \neg q ) \wedge \Box ( \neg q \implies X q ) \wedge \Box ( q \implies p )$

Tôi thích ví dụ về tính chất Büchi đồng đều, được đưa ra, ví dụ, trong [Wolper83] về các hạn chế của LTL, vì nó đơn giản và cho thấy sự cần thiết của PQTL đối với sự đồng đều (cảm ơn về ghi chú bên dưới).

Cập nhật:

Tôi nghĩ rằng định lý biểu cảm giữa CTL * và LTL từ [Clarke và Draghicescu, 1988] có thể được nâng lên Büchi automata, dẫn đến:

Let $\phi$ be a CTL* state formula. 
Then $\phi$ is expressible via Büchi automaton 
         iff $\phi$ is equivalent to $A\phi^d$.

Với điều này, Büchi CTL * = LTL, trả lời các câu hỏi của tôi ở trên:$\cap$

• Có đúng là có các thuộc tính có thể chỉ định trong Büchi nhưng không có trong CTL * không? Yes, e.g. evenness.
• Làm thế nào về Büchi và CTL nhưng không phải trong LTL? No.

Có ai đã nâng định lý của Clarke và Draghicescu lên Büchi automata hay đã nêu một định lý tương tự chưa? Hoặc điều này quá tầm thường khi được đề cập trong một bài báo, vì các bộ lượng hóa đường dẫn của CTL * rõ ràng là "trực giao" với các tiêu chí trên các trạng thái đường dẫn được chấp nhận bởi Büchi automata?

Một điều chúng ta phải rõ ràng là loại tài sản mà chúng ta đang nói đến: CTL và CTL * là các logic thời gian phân nhánh, được sử dụng để nói về ngôn ngữ cây, trong khi LTL là logic thời gian tuyến tính, mà mọi người đều nói về các từ , nhưng có thể được áp dụng cho cây bằng cách yêu cầu tất cả các nhánh phải thỏa mãn công thức.

Điều này đã cung cấp cho bạn một gợi ý cho một số thuộc tính CTL mà LTL không thể biểu thị, cụ thể là các thuộc tính kết hợp các bộ định lượng đường dẫn phổ biến và tồn tại, như AGEFp ("Sẽ luôn có thể chuyển sang trạng thái p"). Ví dụ thông thường theo hướng khác là FGa, xem ví dụ http://blob.inf.ed.ac.uk/mlcsb/files/2010/02/mlcsb7.pdf để biết chi tiết (và sơ đồ Venn).

Về automata, mọi thứ trở nên phức tạp hơn. Bạn có thể nói về từ hoặc cây automata; nếu sau này, lưu ý rằng Büchi automata ít biểu cảm hơn các điều kiện chấp nhận khác (Rabin / chẵn lẻ / ...) trong trường hợp này. Xem ví dụ http://www.cs.rice.edu/~vardi/ con /lics96r1.ps.gz để so sánh (bao gồm cả trường hợp ngôn ngữ dẫn xuất, là ngôn ngữ cây có thể nhận ra bởi từ automata).

Tôi không trả lời câu hỏi đầy đủ mà chỉ là một phần của câu hỏi (tôi không quan tâm đến thời gian phân nhánh).

Định nghĩa của bạn của sẽ đọc tốt hơn e v đ n ( p ) ≡ ∃ q . ( q ∧ ◻ ( q ↔ X ¬ q ) ∧ ◻ ( q → p ) ) . Bạn đang giới thiệu q chỉ để nhớ nếu bạn ở vị trí lẻ hoặc chẵn, nhưng q này$\mathit{even}$$\mathit{even}(p) \equiv \exists q.(q \land \Box ( q \leftrightarrow \mathsf{X} \lnot q ) \land \Box ( q \rightarrow p ))$$q$$q$thông tin không có trên hệ thống của bạn, do đó, đây không phải là biến miễn phí của công thức của bạn (nếu không hệ thống và công thức của bạn được xác định trên các bảng chữ cái khác nhau). Công thức như vậy là một công thức LTL Hiện tại được định lượng (viết tắt là EQLTL).

Công thức EQLTL chỉ có thể có định lượng ở cấp cao nhất. Và chúng cũng biểu cảm như Büchi automata. Ví dụ để dịch công thức EQLTL ∃ q . ( Q ∧ ◻ ( q ↔ X ¬ q ) ∧ ◻ ( q → p ) ) như một automaton Buchi, bạn chỉ cần dịch công thức LTL q ∧ ◻ ( q ↔ X ¬ q ) ∧ ◻ ( q → p ) , và sau đó xóa$\exists$$\exists q.(q \land \Box ( q \leftrightarrow \mathsf{X} \lnot q ) \land \Box ( q \rightarrow p ))$$q \land \Box ( q \leftrightarrow \mathsf{X} \lnot q ) \land \Box ( q \rightarrow p )$biến q từ mọi nơi trong máy tự động. Ngược lại bất kỳ automaton Buchi có thể được chuyển đổi thành một công thức EQLTL dễ dàng: khai báo một biến hiện sinh cho tất cả các tiểu bang ∃ s 1 . ∃ s 2 ... , và sử dụng các hiệu ứng chuyển tiếp để mã hóa và các quốc gia chấp nhận (ví dụ ∃ s 1 . ∃ s 2 . ( S 1 ∧ ◻ ( s 1 → một ∧ X s 2 ) ∧ ◻ ( s 2 ) → b ∧ $q$$\exists s_1.\exists s_2\ldots$ nếu s 1 có thể đi đến s 2 với một , s 2 có thể đi đến s 1 với b , và s 2 là chấp nhận Büchi; sự kết hợp cuối cùng của hàm ý đảm bảo bạn không thể ở hai trạng thái cùng một lúc). Bạn có thể muốn đọc$\exists s_1.\exists s_2.(s_1\land\Box(s_1\rightarrow a\land \mathsf{X}s_2)\land\Box(s_2)\rightarrow b\land\mathsf{X}(s_1))\land\Box\Diamond s_2\land\Box(\bigwedge_i (s_i\rightarrow\bigwedge_{j\ne i}\neg s_j)))$$s_1$$s_2$$a$$s_2$$s_1$$b$$s_2$Ngôn ngữ Stutter-Invariant,-Automata và Temporal-Logic về chủ đề này.

Về cơ bản, được sử dụng ở đây giống như một số lượng tử bậc hai (tồn tại một tập hợp các trạng thái trong đó q giữ và sao cho ...). EQLTL và Büchi automata tương đương với S1S và LTL tương đương với F1S. e v e n là công thức S1S điển hình không thể biểu thị bằng F1S.$\exists q$$q$$even$

QPTL, mà bạn đề cập, cho biết thêm , ∀ (không chỉ ở cấp cao nhất), và các nhà khai thác trong quá khứ. Nó chứa EQLTL nhưng không biểu cảm hơn (vì QPTL có thể được chuyển đổi thành Büchi automata và Büchi automata có thể được chuyển đổi thành EQLTL).$\exists$$\forall$

$\mathsf{EF}\mathsf{AG}p$