Một phiên bản đơn giản của trò chơi thẻ Người chiến thắng

Tôi đã hỏi vấn đề này trong MathOverflow , mà không có câu trả lời thỏa đáng nào.

Hãy xem xét trò chơi hai người chơi sau đây, đây là một trò chơi đơn giản hóa có tên là Người chiến thắng . (Công thức sau đây được lấy từ một nhận xét của Guillaume Brunerie trên MathOverflow.)

Có hai người chơi A và B. Mỗi người chơi có một bộ thẻ (một tập hợp con ), có thể nhìn thấy từ cả hai người chơi. Mục đích của trò chơi là loại bỏ các thẻ riêng của nó. Người chơi đầu tiên chơi bất kỳ thẻ nào trên bàn, sau đó người chơi khác phải chơi một thẻ lớn hơn (nghiêm ngặt), và cứ như vậy cho đến khi một trong những người chơi không thể chơi hoặc quyết định vượt qua. Sau đó, các thẻ trên bàn sẽ bị loại bỏ và người chơi khác bắt đầu lại bằng cách chơi bất kỳ thẻ nào (sẽ được theo sau bởi một thẻ lớn hơn). Và cứ như vậy cho đến khi một trong hai người chơi hết thẻ và giành chiến thắng trong trò chơi.$\{1,\dots,n\}$

Tôi muốn biết chiến lược tốt nhất cho các cầu thủ (nếu anh ta có thể giành chiến thắng).

Định nghĩa chính thức

Biểu thị bằng cấu hình của trò chơi trong đó bộ thẻ của người chơi thứ nhất là , bộ thẻ của người chơi thứ hai là và thẻ lớn nhất trên bàn là , trong đó có nghĩa là không có thẻ trên bàn. Tôi muốn một thuật toán để tính toán, đưa ra , cho dù người chơi đầu tiên có chiến lược chiến thắng trong cấu hình .$w(i,A,B)$$A$$B$$i$$i=0$$i,A,B$$w(i,A,B)$

Chính thức, tôi muốn một thuật toán để tính hàm được định nghĩa như sau:$f$

Đặt , .$\mathbb{Z}_n = \left\{1, 2, \cdots, n\right\}$$\mathrm{Bool} = \left\{\mathrm{False}, \mathrm{True}\right\}$

Hàm$f:\;\left\{ 0, 1, \cdots, n \right\} \times 2^{\mathbb{Z}_n} \times 2^{\mathbb{Z}_n} \to \mathrm{Bool}$

trong đó

Chiến lược sai

Dưới đây là một số chiến lược sai:

1. Luôn chơi bài nhỏ nhất. Đặt , chiến lược chiến thắng cho người chơi A trong cấu hình là chơi bài . Nếu người chơi A chơi bài 1, anh ta sẽ thua.$n = 3, A = \{1,3\}, B = \{2\}$$w(0, A, B)$$3$
2. Chơi thẻ nhỏ nhất trừ khi người chơi khác chỉ có một thẻ. Đó là một chiến lược mạnh hơn chiến lược 1, nhưng nó cũng sai. Chỉ nghĩ về cấu hình . Nếu người chơi A sử dụng chiến lược 2, anh ta sẽ thua: , do đó người chơi A thua.$w(0, \{1, 4, 6, 7\}, \{2, 3, 5, 8\})$$1\rightarrow2\rightarrow4\rightarrow5\rightarrow6\rightarrow8\rightarrow\textrm{pass}\rightarrow3$

Đây có lẽ nên là một bình luận, nhưng nó quá dài.

Một trò chơi liên quan đã được nghiên cứu bởi Jeff Kahn, Jeff Lagarias và Hans Witsenhausen, trong loạt bài viết Thẻ đơn hai người chơi I, II, III và Trò chơi bài trên Laskar. Trong trò chơi mà họ nghiên cứu, mỗi người chơi có thẻ, được xử lý từ thẻ được đánh số . Mỗi thủ thuật bao gồm hai thẻ, thẻ cao hơn sẽ thắng được mẹo và người chiến thắng dẫn đầu. Đối tượng là để có nhiều thủ đoạn nhất.$n$$2n$$1$ $\ldots$ $2n$

Họ đã chứng minh một số sự thật thú vị về chiến lược tối ưu, nhưng không thể tìm thấy một thuật toán hiệu quả để chơi tối ưu, và cũng không thể chứng minh rằng đó là NP-hard.

Đối với trò chơi misère , nơi mỗi người cố gắng thực hiện một số ít thủ thuật nhất, họ có thể đưa ra chiến lược tối ưu.

Đối với hầu hết các phần, những kết quả này thu được bằng cách đầu tiên nhìn vào kết quả của một chương trình máy tính tìm ra chiến lược tối ưu cho các trường hợp nhỏ, sau đó tìm kiếm các mẫu để có được các phỏng đoán và cuối cùng chứng minh các phỏng đoán này. Tôi nghi ngờ rằng đây cũng sẽ là một cách tiếp cận hiệu quả cho trò chơi của OP.