Giới hạn dưới cho công thức độ sâu không đổi?

21

Chúng tôi biết rất nhiều về những hạn chế của (kích thước đa thức) mạch độ sâu không đổi. Do các công thức độ sâu không đổi (kích thước đa thức) là một mô hình tính toán bị hạn chế hơn nữa, nên tất cả các vấn đề được biết là không có trong AC ⁰ cũng không thể tính được bằng một công thức có độ sâu không đổi. Tuy nhiên, vì đây là một mô hình dễ dàng hơn, tôi đoán có nhiều vấn đề hơn được biết là không thể tính toán được trong mô hình này. Điều này đã được nghiên cứu? (Tôi đoán nó đã được, nhưng có lẽ tôi không sử dụng đúng thuật ngữ tìm kiếm.)

Cụ thể tôi quan tâm đến câu hỏi sau: Có một số hàm f, có thể được tính bằng mạch AC ⁰ có kích thước S, nhưng cần một công thức có độ sâu không đổi ít nhất là bậc hai trong S, hoặc siêu đa thức trong S? Kết quả nổi tiếng nhất của loại này là gì?

Trong trường hợp không hiểu ý tôi là gì bởi công thức có độ sâu không đổi, ý tôi là một công thức mà nếu bạn viết ra dưới dạng cây (với các nút bên trong là cổng AND / OR / NOT và để lại đầu vào), thì cây này có hằng số Chiều cao. Tương tự, một công thức có độ sâu không đổi là một mạch có độ sâu không đổi trong đó tất cả các cổng không đầu vào đều có quạt 1.

cc.complexity-theory circuit-complexity lower-bounds

— Robin Kothari
nguồn

11

Thật dễ dàng để chuyển đổi một mạch độ sâu không đổi thành một công thức độ sâu không đổi có cùng độ sâu với tăng kích thước đa thức, bằng cách tạo ra các bản sao của cổng được sử dụng nhiều lần. Nếu độ sâu của mạch là và kích thước của nó là , công thức sẽ có độ sâu và kích thước . Do đó, câu trả lời là không. $d$ $O(p(n))$ $d$ $O((p(n))^d)$

— Kaveh
nguồn

5

điều này mang lại nhiều hơn một sự gia tăng kích thước bậc hai. (Mặc dù, không tăng siêu đa thức, tất nhiên.)

— Iddo Tzameret

2

Cảm ơn câu trả lời. Bất kỳ ý tưởng nào về một hàm cụ thể f có mạch có độ sâu không đổi có kích thước S, nhưng cần một công thức có kích thước S ^ 2, hoặc S ^ 10, v.v.?

— Robin Kothari

3

Tôi nghĩ rằng mối quan hệ giữa độ sâu và kích thước mạch vẫn mở (Được biết rằng "độ sâu" là teta của kích thước công thức). Xem chương 7 và 8 trong cuốn sách "Độ phức tạp của các hàm boolean" của Wegener để biết một số hàm có giới hạn công thức rõ ràng. Có một mức tăng gần như bậc hai (

), không nhận thấy điều gì tốt hơn.

n^{2} / l o g n

$n^2/log n$

— Kaveh

17

Câu hỏi này đã được giải quyết hoàn toàn (tối đa các yếu tố không đổi) bởi một kết quả gần đây của Benjamin Rossman ( http://eccc.hpi-web.de/report/2013/169/ ).

Như Kaveh đã chỉ ra ở trên, độ sâu , kích thước , mạch có thể được chuyển đổi thành công thức độ sâu , kích thước . $d$ $S$ $d$ $S^d$

Rossman cho thấy điều này về cơ bản là chặt chẽ. Đối với bất kỳ độ sâu $d$ , anh thể hiện một chức năng có thể được tính bằng một mạch liên tục chuyên sâu về chiều sâu và kích thước , nhưng bất kỳ công thức không đổi chiều sâu (hoặc thậm chí là một $d$ $S = O(n^3)$ công thức chiều sâu) cần kích thước để tính toán nó. $\sqrt{\log n}$ $S^{\Omega(d)}$

(Quên nói điều này trước: Cảm ơn Benjamin Rossman đã cho tôi biết về kết quả này.)

— Robin Kothari
nguồn