Một câu hỏi về phần mở rộng tuyến tính của đơn đặt hàng một phần

Nếu bạn được cung cấp một bộ sưu tập các đơn hàng một phần, sắp xếp theo cấu trúc liên kết sẽ cho bạn biết nếu có phần mở rộng của bộ sưu tập cho tổng đơn hàng (phần mở rộng trong trường hợp này là tổng đơn hàng phù hợp với từng đơn hàng một phần).

Tôi đã bắt gặp một biến thể:

Fix một bộ . Bạn đang đưa ra trình tự của các yếu tố rút ra từ mà không lặp lại (các chuỗi có chiều dài từ 1 đến ). $V$ $\sigma_1, \ldots \sigma_k$ $V$ $|V|$

Có cách nào để sửa hướng cho từng chuỗi (tiến hoặc lùi) để bộ sưu tập chuỗi kết quả (được xem như một thứ tự từng phần) thừa nhận một phần mở rộng không?

Là vấn đề này nổi tiếng?

Lưu ý: Định hướng được chọn cho toàn bộ chuỗi. Vì vậy, nếu chuỗi là , bạn có thể giữ nguyên như vậy hoặc lật nó thành , nhưng bạn không thể làm gì khác. $1-2-4-5$ $5-4-2-1$

ds.algorithms reference-request order-theory

— Suresh Venkat
nguồn

Nếu mỗi chuỗi có độ dài

thì người ta có thể nghĩ mỗi chuỗi là một cạnh không xác định và chúng tôi đang hỏi liệu một đồ thị không có hướng có thể được định hướng là DAG - iff nếu không có chu kỳ. Nhưng một thuật toán tham lam cũng hoạt động. Bắt đầu với một cạnh và định hướng nó tùy ý và tiếp tục đi càng lâu càng tốt và nếu bạn gặp khó khăn, bạn biết điều đó là không thể. Bạn đã thử điều đó cho biến thể của bạn? Có vẻ như nó có thể làm việc.

2

$2$

— Chandra Chekuri

Er, mọi đồ thị vô hướng có thể được định hướng là một DAG. Chỉ cần chọn một thứ tự của các đỉnh và sử dụng thứ tự đó để định hướng các cạnh.

— David Eppstein

Bạn đúng tất nhiên, tôi không suy nghĩ thẳng.

— Chandra Chekuri

Trong biến thể của tôi, mỗi phần tiếp theo có độ dài chính xác là 4, vì vậy câu trả lời của Yury bắt đầu. Hy vọng duy nhất của tôi vào thời điểm này là các phần tiếp theo có cấu trúc rất đặc biệt và có liên quan với nhau, vì vậy có lẽ điều gì đó cụ thể cho vấn đề sẽ giúp ích. Nhưng không có búa chung.

— Suresh Venkat

Nếu mỗi chuỗi có độ dài 3, thì vấn đề được gọi là Giữa . Ngay cả vấn đề Giữa cũng là NP-hard. Trong bài toán này, chúng ta được cung cấp một tập các đỉnh và một tập các ràng buộc có dạng nằm giữa và . Mục tiêu của chúng tôi là đặt hàng tất cả các đỉnh để tối đa hóa số lượng các ràng buộc hài lòng. Opantry [1] đã chứng minh rằng phiên bản quyết định của vấn đề này là NP-hard. Chor và Sudan [2] đã chứng minh rằng đó là SNP-hard. $u$ $v$ $w$

Thuật toán xấp xỉ được biết đến tốt nhất cho vấn đề, bởi Chor và Sudan, thỏa mãn 1/2 tất cả các ràng buộc nếu trường hợp này hoàn toàn thỏa đáng.

[1] J. Opantry. Tổng số vấn đề đặt hàng, Tạp chí SIAM về máy tính , 8 (1): 111 Wiki114, tháng 2 năm 1979.

[2] B. Chor và M. Sudan. Một cách tiếp cận hình học đến giữa , Tạp chí SIAM về Toán học rời rạc, 11 (4): 511-523, tháng 11 năm 1998.

Chỉnh sửa: làm rõ rằng phiên bản quyết định của vấn đề là NP-hard.

— Yury
nguồn

Yury, điều đó có nghĩa là vấn đề quyết định liệu tất cả các ràng buộc có thể được thỏa mãn cũng khó không?

— Chandra Chekuri

Vâng, vấn đề quyết định là NP-hard. Hơn nữa, đối với một số

nó là NP-khó để làm hài lòng ngay cả một

phần của tất cả các hạn chế (tức là vấn đề hứa hẹn tương ứng là NP-hard).

ϵ > 0

$\epsilon > 0$

1 - ϵ

$1-\epsilon$

— Yury

Nếu trường hợp là không hoàn toàn satisfiable , vấn đề là rất khó: tất nhiên, bạn có thể thỏa mãn

của tất cả các hạn chế bằng cách lấy một thứ tự ngẫu nhiên; nhưng nó là UGC cứng để thỏa mãn

của tất cả các trở ngại nếu

cho mỗi liên tục

[Charikar, Guruswami, Manokaran - CCC 2009].

1 / 3

$1/3$

1 / 3 + ε

$1/3+ \varepsilon$

O P T = 1 - ε

$OPT = 1 -\varepsilon$

ε > 0

$\varepsilon > 0$

— Yury

Câu hỏi của tôi có thể là ngu ngốc. nhưng làm 3 thường xuyên (

cho tất cả

) độ cứng kéo dài đến 4 đều đặn một cách tự nhiên?

| σ_{i} | = 3

$|\sigma_i| =3$

i

$i$

— Yixin Cao

Vâng, đây là một giảm. Hãy xem xét một ví dụ 3 thường

. Giới thiệu một biến mới

cho mọi chuỗi

. Hãy

là một chuỗi thu được bằng cách thêm

đến hết

. Chúng tôi nhận được một trường hợp 4 thường xuyên

trên đỉnh

với chuỗi

. Nó rất dễ dàng để thấy rằng

là satisfiable nếu

là satisfiable - lấy giải pháp cho

I

${\cal I}$

y_{i}

$y_i$

σ_{i}

$\sigma_i$

σ_{i}^{'}

$\sigma_i'$

y_{i}

$y_i$

σ_{i}

$\sigma_i$

I^{'}

${\cal I}'$

V \cup {y_{i}}

$V \cup\{y_i\}$

{σ_{i}^{'}}

$\{\sigma_i'\}$

I^{'}

${\cal I}'$

I

${\cal I}$

, đặt mỗi

trước tất cả các đỉnh trong

hoặc sau tất cả các đỉnh trong

tùy thuộc vào hướng của

(thứ tự tương đối của

là không liên quan).

I

${\cal I}$

y_{i}

$y_i$

V

$V$

V

$V$

σ_{i}

$\sigma_i$

{y_{i}}

$\{y_i\}$

— Yury