Hiểu một bằng chứng thiết kế cơ chế

Tôi đã vật lộn với các chi tiết kỹ thuật của một bằng chứng liên quan đến lý thuyết đấu giá trong bài viết này: http://users.eecs.northwestern.edu/~hartline/omd.pdf

Cụ thể, Định lý 2.5: Các điều kiện cần và đủ cho một cơ chế trung thực.

Cụ thể hơn, hướng chuyển tiếp của bằng chứng, được đưa ra ở trang 6. Xác định giá trị trung thực là và giá trị chung, có thể là sai (ví dụ: giá thầu) là , tác giả tiếp tục đưa ra hai đại lượng bổ sung, và .b i z 1 z $v_i$$b_i$$z_1$$z_2$

Sau đó, ông quy định rằng , , điều này mang lại sự bất bình đẳng dựa trên công việc trước đó của bài báo. b i = z $v_i = z_1$$b_i = z_2$

Ông cũng quy định rằng , , mang lại sự bất bình đẳng tương tự nhưng khác nhau dựa trên công việc trước đây của bài báo. b i = z $v_i = z_2$$b_i = z_1$

Được rồi, đủ công bằng. Sau đó, anh ta trừ đi một bất đẳng thức khác và tiến hành rút ra kết quả mong muốn của mình trên cơ sở đại số hệ quả. Tôi không hiểu tại sao phép trừ đó là hợp lý - anh ta dường như đang trừ đi hai bất đẳng thức dựa trên các giả định hoàn toàn khác nhau (trên thực tế, ngược lại), và mỗi khi tôi nhìn thấy nó, tôi lại bị ném ra khỏi suy nghĩ.

Tôi khá chắc chắn rằng tôi đã thấy cách tiếp cận cơ bản này khác (cuốn sách của Shoham và Leyton-Brown? Tôi không có nó để kiểm tra) nên dường như đó là một ý tưởng phổ biến, nhưng tôi không thể vượt qua nó. Bất cứ ai có thể giúp tôi hiểu tại sao điều đó là hợp lệ, hoặc giải thích cho tôi những gì tôi đang thiếu?

(Tôi đã cố gắng chứng minh kết quả mong muốn bằng cách giả sử ba values-- một giá trị đích thực , và hai chào giá, và - để có được kết quả mong muốn của mình, nhưng cũng thất bại Vì vậy, nó có thể không chỉ được phổ biến, nhưng. Cần thiết để làm theo cách của tác giả. Nhưng tôi vẫn không hiểu.)b 1 b $v_i$$b_1$$b_2$

Cập nhật: Tôi biết rằng tôi đã thấy một cái gì đó tương tự trong cuốn sách của Shoham và Leyton-Brown . Nó không hoàn toàn giống nhau, nhưng nó rất giống nhau và liên quan đến cùng một phương trình và chủ đề. Đó là trường hợp 1 của Định lý 10.4.3.

Bắt đầu từ bối cảnh cơ chế trung thực, đầu tiên họ giả định một chân thật và một sai và lấy được rằng việc thanh toán dựa trên là ít hơn hoặc bằng việc thanh toán dựa trên , ví dụ, . Sau đó, họ giả sử ngược lại, trung thực và sai và rút ra kết quả ngược lại, rằng khoản thanh toán dựa trên nhỏ hơn thanh toán dựa trên , ví dụ: . Được rồi, điều đó có ý nghĩa. v ' i v i v ' i P i ( v i ) ≤ P i ( v ' i ) v ' i v i v ' i v i P i ( v ' i ) ≤ P i ( v i$v_i$$v_i'$$v_i$$v_i'$$P_i(v_i) \leq P_i(v_i')$$v_i'$$v_i$$v_i'$$v_i$$P_i(v_i') \leq P_i(v_i)$

Sau đó, họ cho rằng các khoản thanh toán dựa trên và phải bằng nhau, như thể họ đang nói rằng và đồng thời đúng mặc dù chúng là kết quả của không chỉ khác nhau, mà còn giả định ngược lại.v ' i P i ( v i ) ≤ P i ( v ' i ) P i ( v ' i ) ≤ P i ( v i$v_i$$v_i'$$P_i(v_i) \leq P_i(v_i')$$P_i(v_i') \leq P_i(v_i)$

Câu trả lời là cơ chế phải trung thực cho mọi tập hợp các loại có thể: cơ chế không biết đâu là loại thực sự trước thời hạn. Vì vậy, đối với một cặp loại và , cơ chế phải trung thực nếu loại thực sự của một đại lý là : tức là tiện ích của anh ta phải lớn hơn nếu anh ta trả giá so với khi anh ta đặt giá thầu . Nhưng cơ chế cũng phải trung thực nếu loại thực sự của tác nhân là ! Rốt cuộc, theo như cơ chế có liên quan, nó có thể là! Vì vậy, trong trường hợp này, tiện ích của một đại lý phải lớn hơn nếu anh ta đặt giá thầu so với .v ′ i v i v i v ′ i v ′ i v ′ i v $v_i$$v_i'$$v_i$$v_i$$v_i'$$v_i'$$v_i'$$v_i$

Vấn đề là tính trung thực áp đặt đồng thời nhiều bất đẳng thức khác nhau trên cùng một cơ chế: một loại cho mỗi loại tác nhân có thể có, và đối với mọi sai lệch anh ta có thể xem xét. Tất cả đều giữ. Bằng chứng này chỉ sử dụng hai trong số các bất đẳng thức

Tôi nghĩ những gì bạn muốn là đề xuất sau đây.

Dự luật. Đặt và A là tập hợp. Hãy f : V n → Một và p 1 , ... , p n : V n → R . Giả sử với tất cả i , x i , y i , v - i ta có x i ( f ( x i , v - i ) ) - p i ( $V$$A$$f:V^n\to A$$p_1,\dots,p_n:V^n\to\mathbb{R}$$i,x_i,y_i,v_{−i}$ Thì với tất cả i , v i , v ′ i , v - i ta có v i ( f ( v i , v - i )

$$x_i (f(x_i , v_{−i})) − p_i (x_i , v_{−i}) \geq x_i (f(y_i , v_{−i})) − p_i (y_i , v_{−i}).$$ $i,v_i,v'_i,v_{-i}$ $$v_i(f(v_i,v_{-i}))-v_i(f(v'_i,v_{-i}))\geq v'_i(f(v_i,v_{-i}))-v'_i(f(v'_i,v_{-i})).$$

Bằng chứng. Đưa và y i = v ' i chúng ta có v i ( f ( v i , v - i ) ) - p i ( v i , v - i ) ≥ v i ( f ( v ' i , v - i ) ) - p i ( $x_i=v_i$$y_i=v'_i$ Đưaxi=vivàyi=v ' i chúng ta có v ' i (f(v ' i ,v-i))-pi(v ' i ,v-i)≥v ' i (f(vtôi,

$$v_i (f(v_i , v_{−i})) − p_i (v_i , v_{−i}) \geq v_i (f(v'_i , v_{−i})) − p_i (v'_i , v_{−i}).$$ $x_i=v_i$$y_i=v'_i$ Kết quả sau đó bằng cách thêm các bất đẳng thức và sắp xếp lại. $$v'_i (f(v'_i , v_{−i})) − p_i (v'_i , v_{−i}) \geq v'_i (f(v_i , v_{−i})) − p_i (v_i , v_{−i}).$$

Giải thích thiết kế cơ chế của đề xuất này là mọi cơ chế tương thích khuyến khích (tức là bằng chứng chiến lược, tức là trung thực) có "tính đơn điệu yếu".

Đối với một số lý do, thông thường để tranh luận bằng cách tham khảo giá thầu và lời nói dối thực sự. Trong bối cảnh này, "true" và "lie" chỉ là tên biến, như "x" và "y". Bạn có thể sử dụng cùng một tên để chỉ những điều khác nhau trong các đối số riêng biệt, bởi vì không có sự khác biệt chính thức giữa giá thầu thực và lời nói dối.