Có khoảng cách tích phân bằng không ngụ ý khoảng cách đối ngẫu bằng không cho một số vấn đề nhất định?

Chúng ta biết rằng nếu khoảng cách giữa các giá trị của chương trình số nguyên và giá trị kép của nó ("khoảng cách đối ngẫu") bằng 0, thì việc thư giãn lập trình tuyến tính của chương trình số nguyên và đối ngẫu của thư giãn, cả hai đều thừa nhận các giải pháp tích phân (tích phân 0 " lỗ hổng"). Tôi muốn biết nếu converse giữ, ít nhất là trong một số trường hợp.

Một 0 - 1 P ' P P $P: \max\{1^Tx: Ax \leq 1, x\in \{0,1\}^n\}$$A$$0-1$$P'$$P$$P'$

Tôi sẽ đánh giá cao bất kỳ ví dụ phản đối hoặc con trỏ ..

Đây là một ví dụ có thể gần với một ví dụ cho khiếu nại.

Hãy xem xét LP và cho ma trận$P = \max \{ 1^T x \,|\, Ax \leq 1, x \leq 1, x \geq 0\}$$P' = \min \{1^Ty + 1^Tz ~|~ A^Ty + z \geq 1, ~y \geq 0, z \geq 0 \}$$12 \times 6$

$A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0\\ 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}\,.$

Một giải pháp tối ưu của được đưa ra bởi (tất cả các biến khác đều bằng 0), với giá trị hàm mục tiêu là . Giải pháp tối ưu của được đưa ra bởi các vector . Nếu bạn giải dưới dạng chương trình số nguyên, giá trị hàm mục tiêu tối ưu chỉ là và là một giải pháp tối ưu.$P'$$y_1=y_2=y_{12}=1$$3$$P$$x = [0.5~0.5~0~1~0.5~0.5]^T$$P$$2$$x = [1~0~0~1~0~0]$

Tóm lại, LP có một giải pháp tối ưu tích hợp, nhưng kép của nó không có giải pháp tối ưu tích hợp. Các vai trò nguyên thủy kép được đảo ngược từ thiết lập mà Ankur muốn. Nhưng với bản chất của tính đối ngẫu LP, trường hợp này vẫn có thể được coi là một ví dụ cho tuyên bố chung của yêu cầu ban đầu.$P'$$P$