Các vấn đề SUBSET-SUM thú vị

Tôi biết các biến thể sau của các vấn đề SUBSETSUM: ( Elberfeld tại. Al., 2010 ), NP- và NEXP-hoàn thành ( liên kết ). $\mathtt{UNARY\mbox{-}SUBSETSUM} \in \mathsf{L}$ $\mathtt{SUBSETSUM}$ $\mathtt{SUCCINCT\mbox{-}SUBSETSUM}$

Gần đây, tôi cũng chạy vào -complete vấn đề ( Trang 16: Schaefer và Umans, 2008 ). $\Sigma_2^p$ $\mathtt{GENERALIZED\mbox{-}SUBSETSUM}$

Bạn có biết một số biến thể thú vị khác (không tầm thường) của các vấn đề SUBSETSUM không? Cụ thể, - hoặc - hoàn thành các vấn đề đối với một số . $\Sigma_l^p$ $\Pi_l^p$ $l > 1$

Một số định nghĩa:

$\mathtt{UNARY\mbox{-}SUBSETSUM} = \{ 0^n \# 0^{i_1} \# \cdots\#0^{i_k} \mid \exists I \in \{1,\ldots,k\} \sum_{j \in I}i_j = n \}.$

$\mathtt{SUBSETSUM} = \{ S \# a_1 \# \cdots\# a_k \mid \exists I \in \{1,\ldots,k\} \sum_{j \in I}a_j = S \},$ Trong đó và là số nhị phân. $S$ $a_j$

$\mathtt{GENERALIZED\mbox{-}SUBSETSUM} = \{ u \# v \# t \mid (\exists x) (\forall y) [ux+vy \neq t] \},$ trong đó và là số nguyên vectơ, là một số nguyên và và là các vectơ nhị phân có cùng độ dài với và . $u$ $v$ $t$ $x$ $y$ $u$ $v$

— Abuzer Yakaryilmaz
nguồn

một trong những mục yêu thích của tôi là PIGEONHOLE-SUBSETSUM có trong TFNP ( scTHERirect.com/science/article/pii/030439759190200L ). Một điều thú vị khác là THIẾT BỊ-SUBSETSUM ( scTHERirect.com/science/article/pii/S0022000001917842 )

— Marcos Villagra

@MarcosVillagra: Cảm ơn bình luận của bạn. PIGEONHOLE-SUBSETSUM trông thú vị. Bạn có biết bất kỳ phiên bản quyết định nào của PIGEONHOLE-SUBSETSUM không?

— Abuzer Yakaryilmaz

Không có phiên bản quyết định vì giới hạn trên của tổng kết buộc vấn đề luôn phải có giải pháp, do đó phiên bản quyết định là không đáng kể. Bằng chứng của nó (rằng luôn luôn có một giải pháp) không khó, là một ứng dụng của nguyên tắc pigeonhole. Đây là một tài liệu tham khảo tuyệt vời của Papadimitriou ( cs.ber siêu.edu / ~ christos / con / On% 20the% 20Complexity.pdf ).

— Marcos Villagra

Một vấn đề mở lớn là chứng minh nếu PIGEONHOLE-SUBSETSUM hoàn thành cho PPP.

— Marcos Villagra

@MarcosVillagra: Cảm ơn bạn đã bình luận thêm. Điều trong tâm trí tôi thực sự là "có phiên bản vấn đề quyết định tự nhiên nhưng vẫn không tự nhiên của PIGEONHOLE-SUBSETSUM không?". Ví dụ: một trong các phiên bản bài toán quyết định của hệ số nguyên như sau: được cho một số nguyên N và một số nguyên M có 1 ≤ M ≤ N, N có hệ số d với 1 <d <M ( en.wikipedia.org/ wiki / Integer_factorization )?

— Abuzer Yakaryilmaz

Tín dụng chính nên đến John Fearnley !

Đây là một vấn đề hoàn chỉnh PSPACE được đưa ra trong (John Fearnley, Marcin Jurdzinski: Khả năng tiếp cận trong Automata hai thời gian đồng hồ là PSPACE-Complete. ICALP (2) 2013: 212-223) :

S U B S E T S U M - G A M E = {S \forall (a_{1}, b_{1}) \exists (e_{1}, f_{1}) \dots \forall (a_{n}, b_{n}) \exists (e_{n}, f_{n})},

$\begin{equation} \mathtt{SUBSETSUM\mbox{-}GAME}=\{ S~ \forall(a_1 , b_1) \exists(e_1,f_1) \cdots \forall(a_n , b_n) \exists(e_n,f_n) \}, \end{equation}$ trong đó

$S$ và mỗi và là các số tự nhiên ( ); và, $a_i,b_i,e_i$ $f_i$ $1 \leq i \leq n$
với mọi , tồn tại một sao cho . $x=(x_1,\ldots,x_n) \in \times_{i=1}^n \{ a_i,b_i \}$ $y=(y_1,\ldots,y_n) \in \times_{i=1}^n \{ e_i,f_i \}$ $S = \sum_{i=1}^n = x_i+y_i$

Tương tự, chúng ta có thể định nghĩa một số vấn đề hoàn chỉnh cho từng cấp phân cấp đa thức (PH). Nhưng, tất nhiên, trong trường hợp hoàn thành ở một mức độ PH nào đó, chúng ta cần giải phóng điều kiện chỉ có hai số tự nhiên sau mỗi bộ định lượng.

— Abuzer Yakaryilmaz
nguồn