Mạch giới hạn dưới và độ phức tạp kolmogorov

Hãy xem xét các lý do sau đây:

Gọi biểu thị độ phức tạp Kolmogorov của chuỗi x . Định lý bất toàn Chaitin nói rằng$K(x)$$x$

cho bất kỳ hệ thống chính thức phù hợp và đủ mạnh mẽ , có tồn tại một hằng số T (chỉ phụ thuộc vào hệ thống chính thức và ngôn ngữ của nó) như vậy mà cho bất kỳ chuỗi x , S không thể chứng minh rằng K ( x ) ≥ T .$S$$T$$x$$S$$K(x) \geq T$

Đặt là hàm Boolean trên n biến st độ phức tạp Kolmogorov của phổ của nó nhiều nhất là k . Gọi S ( f n ) là độ phức tạp của f n , tức là kích thước của tính toán mạch tối thiểu f n .$f_n$$n$$k$$S(f_n)$$f_n$$f_n$

A (thô) trên ràng buộc trên cho là S ( f n ) ≤ c ⋅ B B ( k ) ⋅ n cho một hằng số c và B B ( k ) là một hải ly bận rộn chức năng (tối đa các bước có thể một tạm dừng máy Turing với mô tả kích thước k có thể thực hiện). (Với mỗi 1 trong phổ, xây dựng minterm của phép gán chân lý tương ứng và lấy OR của tất cả các minterms này cùng nhau.)$S(f_n)$

Giả sử bây giờ đối với một họ hàm Boolean vô hạn , chúng ta có một bằng chứng chính thức rằng L yêu cầu các mạch kích thước siêu tuyến, tức là$L = \{f_n\}_{n}$$L$

nơi g ( n ) ∈ w ( 1 ) .

Nếu chúng ta lấy là đủ lớn, chúng ta sẽ có g ( n ) > c ⋅ B B ( T $n$

Cụ thể, đây sẽ là một bằng chứng cho thấy độ phức tạp Kolmogorov của phổ ít nhất là T , điều này là không thể.$f_n$$T$

Điều này dẫn đến hai câu hỏi:

1) Cần có một cái gì đó sai trong lý luận trên. Chủ yếu là vì nó sẽ làm cho mạch siêu tuyến giới hạn chính thức không thể chứng minh được.

2) Bạn có biết các cách tiếp cận tương tự để hiển thị các rào cản cho giới hạn thấp hơn, nghĩa là, cho thấy rằng một số loại giới hạn (mạch) nhất định chính thức không thể chứng minh được?

$N$$f_n$$T$$N$$N>g^{-1}(c \cdot BB(T))$$BB$

$A(k)$$K(A(k)) \geq k$$k$$K(A(k)) \geq k$

$BB(T)$

$\alpha(k)$$k$$\alpha(k)$$K(0^{\alpha(k)+1}) > k$