Đồng phục FO AC0 với một số vị ngữ

Câu hỏi của tôi là về lý thuyết mô hình hữu hạn / độ phức tạp mô tả, do đó, sẽ có nghĩa là "thứ tự đầu tiên trên các từ nhị phân hữu hạn, sử dụng các biến vị ngữ R và một vị từ P đơn vị đúng trên vị trí của 1 trong từ". $FO(R)$

Tôi muốn biết, có bất kỳ sự nhiễm khuẩn nào của với R bất kỳ vị từ nào trên cho một số r không? Ví dụ: trên hoặc trong đó là tập hợp sức mạnh của 2. Đặc biệt, đối với tôi, nó có vẻ bằng với một số điều kiện đồng nhất, nhưng tôi có thể không tìm thấy bất kỳ kết quả nào nói lên điều này. $FO(<,R)$ $\mathbb N^r$ $FO(<,+)$ $FO(<,P_2)$ $P_2$ $AC^0$

Dưới đây là những gì tôi đã biết, đối với một số giá trị của . $R$

Người ta biết rằng , logic thứ tự đầu tiên trên các từ có thứ tự và vị từ bit bằng với đồng phục - . Điều này có nghĩa là cả hai đều nhận ra chính xác cùng một ngôn ngữ. Xem ví dụ "Độ phức tạp mô tả" của Immerman, trang 82. (Nó cũng tương đương với rất nhiều vi khuẩn khác, chẳng hạn như đồng phục thời gian và máy truy cập ngẫu nhiên song song thời gian không đổi, nhưng đó không phải là tôi tìm kiếm ở đây.) $FO(<,bit)$ $AC^0$ $FO(<,bit)$ $AC^0$

Nếu chúng ta có thể sử dụng biến vị ngữ số tùy ý trong logic thứ tự đầu tiên, thì chúng ta có (không đồng nhất), nếu là một lớp hàm chứa hàm tính toán thời gian đăng nhập, thì bằng với -uniform (đối với hai kết quả này, xem Barrington, " Phần mở rộng ý tưởng của Mc-Naughton ", 1993). $AC^0$ $C$ $FO(<,C)$ $AC^0-C$

Cuối cùng, là lớp ngôn ngữ không có sao (ngôn ngữ có thể được xác định bằng biểu thức chính quy không sử dụng ngôi sao Kleene), nhưng điều này không cung cấp thông tin nào về độ phức tạp của mạch. $FO(<)$

— Arthur SỮA
nguồn

Tôi không hoàn toàn chắc chắn những gì bạn đang tìm kiếm, nhưng những điều sau đây có thể thú vị với bạn:

Ý tưởng hạn chế các vị từ số trong công thức FO tương ứng với các điều kiện đồng nhất được nghiên cứu rõ ràng, ví dụ, trong bài báo "FO (<) - tính đồng nhất" của Behle và Lange.
Khảo sát "Số học, logic số thứ nhất và số lượng hóa đếm" của Schweikardt cung cấp cho tôi một cái nhìn tổng quan về các kết quả đã biết về sức mạnh biểu cảm của các vị từ số học khác nhau

— fh
nguồn

Cảm ơn bạn rất nhiều, bài báo đầu tiên trong số hai bài báo chính xác là những gì tôi đang tìm kiếm. Tôi đã chứng minh một phần kết quả của nó và tôi khá chắc chắn rằng ai đó đã sẵn sàng chứng minh điều đó vì bằng chứng gần giống với bằng chứng về tính đồng nhất của FO (<, bit).

— Arthur SỮA