Tạo một điểm trong một polytope hợp lý

Hãy xem xét một đa giác hợp lý được xác định bằng phương tiện phân tách. Nghĩa là, P có thể được mô tả ngầm là P = { x ∈ R k : A x ≤ b , A ∈ Z m × k , b ∈ Z m } , nhưng vì m rất lớn, chúng tôi sử dụng một lời sấm truyền điểm x ∈ R k , hoặc nói x ∈ P hoặc trả về một nửa không gian sao cho x ∉ $P$$P$$P = \{x \in R^k: Ax \leq b, A \in Z^{m \times k}, b \in Z^m \}$$m$$x \in R^k$$x \in P$$x \notin S$.

Mục tiêu của tôi là tìm một điểm trong hoặc xác định rằng P trống. Tôi đang nhắm đến một thời gian chạy đa thức trong kích thước đại diện của U và k , nơi U là giá trị tuyệt đối lớn nhất trong Một . Đó là, thuật toán chỉ nên thực hiện nhiều cuộc gọi đến lời tiên tri tách.$P$$P$$U$$k$$U$$A$

Nói chung, có thể được chứa trong một mặt phẳng siêu phẳng có kích thước thấp hơn và do đó việc sử dụng phương pháp ellipsoid là một vấn đề. Vì vậy, như trong lừa Khachiyan, tôi ALTER P (và oracle tách) để sử dụng P ε , nơi ε là một cái gì đó giống như 1 / U . Bằng trực giác, nửa không gian xác định P ε đều giống nhau như những cái mà xác định P duy nhất mà họ được dịch bởi ε . Các polytope P ε có các thuộc tính sau: P ε là trống rỗng khi và chỉ khi P là trống rỗng, và nếu P không trống rỗng,$P$$P$$P^\epsilon$$\epsilon$$1/U$$P^\epsilon$$P$$\epsilon$$P^\epsilon$$P^\epsilon$$P$$P$ là đầy đủ chiều.$P^\epsilon$

Câu hỏi của tôi là như sau: Giả sử các thuật toán tìm thấy một điểm . Có thể tạo một điểm trong P bằng p không?$p \in P^\epsilon$$P$$p$

Từ bất kỳ sự lựa chọn của một polytope trong R k , ε , và một điểm q trong R k ta có thể tìm thấy một polytope P trong R k + 1 , cùng với một nhúng của R k vào R k + 1 , như vậy mà P nằm trong ε Hausdorff khoảng cách (hình ảnh nhúng trong) P và như vậy đó (hình ảnh nhúng trong) q thuộc về P$P$${\mathbb R}^k$$\epsilon$$q$${\mathbb R}^k$$\hat P$${\mathbb R}^{k+1}$${\mathbb R}^k$${\mathbb R}^{k+1}$$\hat P$$\epsilon$$P$$q$$\hat P^\epsilon$. Để làm điều này, chỉ cần thực hiện các khía cạnh của P được gần như song song với những hình ảnh nhúng của R k , do đó dịch chúng bằng ε trong R k + 1 gây ra ngã tư của họ với R k di chuyển ra khỏi P một khoảng cách lớn hơn nhiều .$\hat P$${\mathbb R}^k$$\epsilon$${\mathbb R}^{k+1}$${\mathbb R}^k$$\hat P$

Vì là tùy ý, nên kiến ​​thức về q không có ích trong việc tìm điểm trong hoặc gần P ; tất cả mọi thứ bạn có thể làm với nó bạn có thể làm mà không cần nó. Nhưng, vì P và P rất gần, việc tìm kiếm một điểm gần P tương đương với việc tìm kiếm một điểm gần P . Do đó, kiến thức của q (một điểm trong P ε ) là không sử dụng trong việc tìm kiếm một điểm gần P .$q$$q$$P$$\hat P$$P$$P$$\hat P$$q$$\hat P^\epsilon$$\hat P$

Nếu mục tiêu của bạn là tìm một điểm trong hoặc xác định rằng P trống, tại sao bạn không làm như sau.$P$$P$

Đặt là một tập hợp các nửa khoảng trống, ban đầu trống.$H$

Gọi là một điểm, ban đầu bằng 0 k .$x$$0^k$

1. Cho vào nhà tiên tri.$x$

2. Nếu nhà tiên tri nói , bạn đã hoàn thành.$x \in P$

3. Mặt khác, hãy để là nửa không gian bị vi phạm được trả lại bởi nhà tiên tri. Hãy để y được chiếu trực giao của x trên S . $S$$y$$x$$S$

   • Nếu có tồn tại ít nhất một như vậy mà y ∉ T , sau đó bạn đã thực hiện: P trống.$T \in H$$y \not \in T$$P$
   • Nếu không thiết lập , và bộ x : = y . $H := H \cup \{S\}$$x := y$

4. Quay trở lại 1.