Trường hợp xấu nhất của thuật toán tam giác delaunay tăng ngẫu nhiên là gì?

Tôi biết rằng thời gian chạy trường hợp xấu nhất dự kiến của thuật toán tam giác delaunay tăng ngẫu nhiên (như được đưa ra trong Hình học tính toán ) là . Có một bài tập trong đó hàm ý thời gian chạy trường hợp xấu nhất là . Tôi đã cố gắng xây dựng một ví dụ trong đó thực tế là như vậy nhưng cho đến nay vẫn chưa thành công. $\mathcal O(n \log n)$ $\Omega(n^2)$

Một trong những cố gắng đó là sắp xếp và sắp xếp điểm được đặt theo cách sao cho khi thêm điểm ở bước , khoảng cạnh được tạo. $p_r$ $r$ $r-1$

Một cách tiếp cận khác có thể liên quan đến cấu trúc vị trí điểm: Cố gắng sắp xếp các điểm sao cho đường dẫn trong cấu trúc vị trí điểm để định vị điểm trong bước càng dài càng tốt. $p_r$ $r$

Tuy nhiên, tôi không chắc cách nào trong hai cách tiếp cận này là đúng (nếu có) và sẽ vui mừng cho một số gợi ý.

— Tedil
nguồn

Hãy thử đặt tất cả các điểm trên đường cong

cho một số

được chọn tốt .

y = x^{r}

$y = x^r$

r

$r$

— Peter Shor

Cách tiếp cận đầu tiên có thể được chính thức hóa như sau.

Đặt là tập hợp điểm tùy ý trên nhánh dương của parabol ; có nghĩa là, cho một số con số thực dương $P$ $n$ $y=x^2$

P = {(t_{1}, t_{1}^{2}), (t_{2}, t_{2}^{2}), \dots, (t_{n}, t_{n}^{2})}

$P = \{ (t_1, t_1^2), (t_2, t_2^2), \dots, (t_n, t_n^2) \}$

t_{1}, t_{2}, \dots, t_{n}

$t_1, t_2, \dots, t_n$ . Không mất tính tổng quát, giả sử các điểm này được lập chỉ mục theo thứ tự tăng dần:

0 < t_{1} < t_{2} < \dots < t_{n}

$0 < t_1 < t_2 < \cdots < t_n$

Khẳng định: Trong Delaunay triangulation của , điểm tận cùng bên trái là một người hàng xóm của tất cả các điểm khác trong . $P$ $(t_1, t_1^2)$ $P$

Khiếu nại này ngụ ý rằng việc thêm một điểm mới vào với thêm cạnh mới vào tam giác Delaunay. Như vậy, quy nạp, nếu chúng ta từng bước hợp đồng Delaunay triangulation của bằng cách chèn các điểm theo thứ tự từ phải sang trái , tổng số Delaunay mép tạo là . $(t_0, t_0^2)$ $P$ $0 < t_0 < t_1$ $n$ $P$ $\Omega(n^2)$

Chúng tôi có thể chứng minh yêu cầu như sau. Với mọi giá trị thực , hãy để biểu thị đường tròn duy nhất qua các điểm . $0<a<b<c$ $C(a,b,c)$ $(a,a^2), (b,b^2), (c,c^2)$

$C(a,b,c)$ $(t,t^2)$ $a<t<b$ $c<t$

$(a,b), (c,d), (e,f), (g,h)$

| \begin{matrix} 1 & a & b & a^{2} + b^{2} \\ 1 & c & d & c^{2} + d^{2} \\ 1 & e & f & e^{2} + f^{2} \\ 1 & g & h & g^{2} + h^{2} \end{matrix} | = 0

$\begin{vmatrix} 1 & a & b & a^2 + b^2 \\ 1 & c & d & c^2 + d^2 \\ 1 & e & f & e^2 + f^2 \\ 1 & g & h & g^2 + h^2 \\ \end{vmatrix} = 0$

(t, t^{2})

$(t,t^2)$

C (a, b, c)

$C(a,b,c)$

| \begin{matrix} 1 & a & a^{2} & a^{2} + a^{4} \\ 1 & b & b^{2} & b^{2} + b^{4} \\ 1 & c & c^{2} & c^{2} + c^{4} \\ 1 & t & t^{2} & t^{2} + t^{4} \end{matrix} | = 0

$\begin{vmatrix} 1 & a & a^2 & a^2 + a^4 \\ 1 & b & b^2 & b^2 + b^4 \\ 1 & c & c^2 & c^2 + c^4 \\ 1 & t & t^2 & t^2 + t^4 \\ \end{vmatrix} = 0$

4 \times 4

$4\times4$

\begin{matrix} (*) & (a - b) (a - c) (b - c) (a - t) (b - t) (c - t) (a + b + c + t) = 0 \end{matrix}

$(a-b)(a-c)(b-c)(a-t)(b-t)(c-t)(a+b+c+t) = 0 \tag{$*$}$

(t, t^{2})

$(t,t^2)$

C (a, b, c)

$C(a,b,c)$

t = a

$t=a$

t = b

$t=b$

t = c

$t=c$

t = - a - b - c < 0

$t=-a-b-c < 0$

0 < a < b < c

$0<a<b<c$

C (a, b, c)

$C(a,b,c)$

(t, t^{2})

$(t,t^2)$

C (a, b, c)

$C(a,b,c)$

- a - b - c < t < a

$-a-b-c<t<a$

b < t < c

$b<t<c$

◻

$\qquad\Box$

— Jeffε
nguồn

Cảm ơn bạn, mặc dù tôi thực sự chỉ muốn một gợi ý (không có bằng chứng);)

— Tedil