Vấn đề NP-cứng trên cây

Một số vấn đề tối ưu hóa được gọi là NP-hard trên các đồ thị chung có thể giải quyết được một cách tầm thường trong thời gian đa thức (một số ngay cả trong thời gian tuyến tính) khi biểu đồ đầu vào là một cây. Các ví dụ bao gồm đỉnh đỉnh tối thiểu, tập độc lập tối đa, đẳng cấu đồ thị con. Kể tên một số vấn đề tối ưu hóa tự nhiên vẫn còn NP-cứng trên cây.

Bạn có thể tìm thấy các ví dụ "tự nhiên" và "nổi tiếng" về các vấn đề đồ thị khó ngay cả khi bị hạn chế đối với cây từ tham chiếu tiêu chuẩn của chúng tôi . Ví dụ:

• Tích hợp dòng chảy k -multicomaticity ,
• Cây con nhúng phổ biến ,
• Cây con chung .

(Chúng được coi là các vấn đề về cây, nhưng bạn có thể khái quát chúng thành các biểu đồ tùy ý. Sau đó, các công thức trên được lấy làm trường hợp đặc biệt khi bạn giới hạn đầu vào của mình vào cây.)

Một công thức tổng quát hơn để tạo ra các vấn đề khó đối với cây: Lấy bất kỳ vấn đề NP-hard nào liên quan đến siêu hậu quả , siêu phẳng , chuỗi con , v.v. Sau đó diễn giải lại một chuỗi dưới dạng biểu đồ đường dẫn được gắn nhãn. Sau đó đặt câu hỏi tương tự cho các đồ thị tổng quát (kế tiếp đồ thị nhỏ, chuỗi con ≈ biểu đồ con). Và chúng ta biết rằng vấn đề là NP-hard ngay cả trên cây (và trên đường dẫn).

Ngoài ra còn có nhiều vấn đề khó đối với các ngôi sao có trọng số, bằng cách giảm từ vấn đề tổng hợp con. Một ví dụ tự nhiên là:

• TSP có hai khách du lịch : được đưa ra một đồ thị có trọng số cạnh và giới hạn W , chúng ta có thể tìm thấy hai bước đi khép kín C 1 và C 2 trong G sao cho mỗi bước đi có tổng trọng lượng tối đa là W và mỗi nút của G được bao phủ tại ít nhất một lần đi bộ?$G$$W$$C_1$$C_2$$G$$W$$G$

Một lần nữa, thật dễ dàng để đưa ra các biến thể của chủ đề.

Đó là NP-đầy đủ để xác định xem một cây có thể được nhúng vào lưới số nguyên hai chiều hay không, với các đỉnh cây được đặt trên các điểm lưới riêng biệt và các cạnh của cây được đặt trên các cạnh của lưới.

Xem ví dụ Gregori, IPL 1989 .

Vấn đề nhóm Steiner là một ví dụ hay. Đầu vào của bài toán này là đồ thị có trọng số cạnh không xác định và k nhóm đỉnh S 1 , S 2 , Lỗi , S k . Mục tiêu là tìm một cây có trọng lượng tối thiểu chứa ít nhất một đỉnh từ mỗi nhóm. Dễ dàng thấy rằng vấn đề Set Cover là một trường hợp đặc biệt ngay cả khi G là một ngôi sao. Do đó, vấn đề khó gần đúng trong một yếu tố O ( log n ) trừ khi P = NP. Hơn nữa, Halperin và Krauthgamer đã chỉ ra rằng vấn đề khó có thể gần đúng trong một$G=(V,E)$$S_1, S_2, \ldots, S_k$$O(\log n)$ yếu tố đối với bất kỳ cố định ε > 0 các thuật toán thời gian đa thức bán trừ NP đã ngẫu nhiên (xem giấy cho một tuyên bố chính xác). Có mộtxấp xỉ O ( log 2 n ) trên cây của Garg, Konjevod và Ravi.$O(\log^{2-\epsilon} n)$$\epsilon > 0$$O(\log^2 n)$

Một trong những vấn đề khó khăn nhất trên cây là vấn đề băng thông tối thiểu. Đó là -hard trên cây có độ tối đa 3. Ngoài ra, nó là NP-hard trên con sâu bướm tròn có chiều dài 1.$NP$

Người giới thiệu:

Michael R. Garey, Ronald L. Graham, David S.Johnson và Donald E. Knuth. Kết quả phức tạp để giảm thiểu băng thông. SIAM J. Appl. Toán., 34 (3): 477-495, 1978.

Burkhard Monien. Vấn đề tối thiểu hóa băng thông cho sâu bướm có chiều dài lông 3 là NP-perfect. Các phương pháp rời rạc SIAM J. Đại số, 7 (4): 505-512, 1986.

W. Unger. Sự phức tạp của gần đúng của vấn đề băng thông. Trong FOCS, trang 82 Hàng91, 1998

Vấn đề multicut cạnh không trọng số là như sau: Cho đồ thị vô hướng , tập hợp các cặp đỉnh G và số nguyên dương k , tìm xem có tập con S nào ở hầu hết các cạnh k trong G mà việc loại bỏ sẽ ngắt kết nối mọi cặp đỉnh trong bộ sưu tập.$G$$G$$k$$S$$k$$G$

Vấn đề này là NP-hard (và MAX SNP-hard) trên các sao [ 1 ].

[ 1 ] Garg, Vazirani và Yannakakis, Thuật toán xấp xỉ kép tối ưu cho dòng chảy tích phân và Multicut trong cây , Al Thuậtmica , 18 (1), trang 3-20, 1997.

Vấn đề lính cứu hỏa đã nhận được một số lượng lớn sự chú ý gần đây, và (hơi ngạc nhiên) NP-hard trên cây có độ 3 tối đa . Đây thực sự là một câu hỏi khá tự nhiên, được mô tả như sau:

Một ngọn lửa bùng phát ở gốc cây (hay nói chung hơn là một đỉnh được chỉ định trong biểu đồ). Ở mỗi bước, lính cứu hỏa bảo vệ một đỉnh không cháy, sau thời gian đó ngọn lửa lan sang mọi người hàng xóm không được bảo vệ. Quá trình kết thúc khi không có đỉnh không được bảo vệ bên cạnh đám cháy. Có một chiến lược cho lính cứu hỏa trong đó nhiều nhất là đốt?$k$

Hoặc một biến thể, cũng là NP-hard : Có chiến lược nào cho lính cứu hỏa trong đó không có lá cháy không?

Một vấn đề mà người ta có thể nghĩ là KHÔNG khó với cây, nhưng, đó là vấn đề đóng băng trong hình học tính toán : một cách ngắn gọn, vấn đề lập lịch trình đánh thức cho robot bắt đầu bằng một bot thức tỉnh duy nhất, trong đó makepan là thước đo chi phí.

Nó được biết đến là NP-cứng trên đồ thị sao có trọng số. Tuy nhiên, nó mở cho dù vấn đề là NP-hard trong máy bay. Người ta có thể lập luận rằng độ cứng NP không đến từ 'cây', mà từ 'số liệu tùy ý', nhưng đồ thị sao chỉ cung cấp cho bạn một không gian số liệu hạn chế ..

Cho một cây , một phân vùng của V ( T ) trong k mức φ : V ( T ) → { 1 , ... , k } (ví dụ, các cạnh của T đỉnh kết nối các cấp láng giềng i và i + 1 ), và một số nguyên K . Bạn có thể hoán vị các đỉnh bên trong các cấp sao cho số giao nhau nhiều nhất là K không?$T$$V(T)$$k$$\phi: V(T)\to \{1,\ldots, k\}$$T$$i$$i+1$$K$$K$

Vấn đề này là NP-đầy đủ, được chứng minh bởi Martin Harrigan và Patrick Healy, -Level Crossing Minimization Is NP-Hard for$k$ Plants, WALCOM 2011, LNCS 6552, trang 70.

Màu đế chế là NP-hard cho cây.

Đặt và s là các số nguyên dương cố định và đặt G là một đồ thị có tập đỉnh được phân chia thành các khối (hoặc đế chế) mỗi khối chứa chính xác các đỉnh r . Các ( s , r ) -colouring vấn đề s - COL r yêu cầu một màu của các đỉnh của đồ thị G mà sử dụng tại hầu hết các s màu sắc, không bao giờ gán cùng một màu sắc để các đỉnh liền kề trong các đế chế khác nhau và ngược lại, chuyển nhượng cùng màu cho tất cả các đỉnh trong cùng một đế chế, coi thường các phần phụ.$r$$s$$G$$r$$(s, r)$$s$$\text{COL}_r$$G$$s$

McGrae và Zito, Empires làm cho bản đồ cứng: Sự phức tạp của các vấn đề màu đế quốc, LNCS 6986 (2011) 179-190, cho thấy rằng, đối với cây cối, - COL r là NP-khó khăn cho s ∈ { 3 , ... , 2 r - 1 } (và có thể giải được trong thời gian đa thức đối với các giá trị dương khác của s .)$s$$\text{COL}_r$$s \in \{3,\ldots, 2r − 1\}$$s$

Một luồng trong mạng là hợp lưu nếu nó sử dụng nhiều nhất một cung đi tại mỗi nút. Độ cứng NP của việc xác định lưu lượng hợp lưu tối đa trong cây (đường kính 4, có nhiều bồn cho phép) được chứng minh trong: D. Dressler và M. Strehler, Dòng chảy hợp lưu điện dung: Độ phức tạp và thuật toán, LNCS 6078 (2010) 347-358 .

Lá cây đẳng cấu tối đa được dán nhãn . Đầu vào là một tập hợp của cây có nhãn lá (các nút bên trong không được dán nhãn). Một giải pháp là bất kỳ cây T như vậy mà cho mỗi cây T 1 ∈ T S sau đó T là đẳng cấu với một cây con của T 1 . Giải pháp tối ưu là một trong đó tối đa hóa số lượng lá của T .$TS$$T$$T_1\in TS$$T$$T_1$$T$

Vấn đề là NP-hard (thực ra, rất khó để ước tính) chỉ khi tất cả các cây đầu vào có mức độ không giới hạn.

Một màu sắc hài hòa của một đồ thị đơn giản là một màu đỉnh phù hợp sao cho mỗi cặp màu xuất hiện cùng nhau trên nhiều nhất một cạnh. Số lượng màu sắc hài hòa của biểu đồ là số lượng màu ít nhất trong màu sắc hài hòa của biểu đồ. Vấn đề tìm số hài hòa sắc thái này đã được Edwards và McDiarmid chỉ ra là hoàn thành NP trên cây . Trên thực tế, họ cũng chỉ ra rằng vấn đề vẫn là NP hoàn chỉnh cho các cây có bán kính 3.

Vấn đề sửa chữa du lịch (TRP) được biết đến là NP-hard trên các cây có trọng lượng. Trong vấn đề này, đôi khi còn được gọi là Vấn đề độ trễ tối thiểu, mục tiêu là tìm một chuyến tham quan tất cả các đỉnh của đồ thị trong khi giảm thiểu độ trễ trung bình. Độ trễ của một đỉnh là chi phí của chuyến tham quan từ điểm gốc cho đến khi chuyến tham quan ghé thăm u .$u$$u$

Lưu ý rằng trong vấn đề TSP liên quan (và nổi tiếng hơn), mục tiêu là giảm thiểu tối đa, thay vì độ trễ trung bình. Tôi nghĩ rằng TRP thường được coi là một vấn đề phức tạp hơn (trên thực tế TSP nằm trong P cho số liệu cây).

Độ cứng NP trên cây được thể hiện trong RA Sitters "Vấn đề độ trễ tối thiểu là NP-Hard đối với cây có trọng lượng", ISCO 2002.

Biểu đồ Motif là bài toán NP-Complete trên cây có độ ba tối đa:

Các nghiên cứu sinh, Fertin, Hermelin và Vialette, Đường biên giới sắc nét để tìm các mô hình được kết nối trong đồ thị có màu của Vertex Ghi chú bài giảng Khoa học máy tính, 2007, Tập 4596/2007, 340-351

Có một vấn đề (rất chung) mà tôi đã xem xét như là một phần của dự án: một biến thể của vấn đề này vẫn là NP-hard ngay cả trên các biểu đồ có hai đỉnh và một cạnh duy nhất, và một biến thể khác là NP-hard trên cây. Vì độ cứng NP của biến thể đầu tiên rõ ràng không xuất phát từ hình dạng của biểu đồ, nên thứ hai có lẽ thú vị hơn.

$S$$C$$G=(V,E)$$S \subset V$$C \subset V$$S \cap C = \emptyset$$s \in S$$|s|$$F$$f \in F$$|f|$$e \in E$$t_e$$R \subseteq C \times F$$(c,f) \in R$$c$$f$

$s \in S$$A_s$$\sum_{f \in A_s} |f| \leq |s|$$P_r$$G$$r = (c,f) \in R$$c$$s$$f \in A_s$$e$$D_e$$r = (c,f) \in D_e$$P_r$$e$$\sum_{(c,f) \in D_e}|f| \leq t_e$

Nếu bạn không yêu cầu tất cả các lần tải xuống được định tuyến mà thay vào đó, hãy cố gắng tối đa hóa tổng số tệp của các lần tải xuống được định tuyến, bạn có thể dễ dàng giảm tổng phụ cho vấn đề này: bạn có một máy chủ duy nhất có dung lượng lớn, a một máy khách được kết nối với máy chủ có cạnh có dung lượng bằng giá trị đích của thể hiện tổng tập hợp con và với mỗi số nguyên trong thể hiện tổng tập hợp con bạn tạo một tệp có kích thước bằng nhau; Sau đó, khách hàng muốn tải xuống tất cả các tệp này.

Một biến thể thú vị hơn cho câu hỏi này là trường hợp bạn cố gắng giảm thiểu số lượng cạnh bị vượt quá dung lượng - có lẽ mạng chúng tôi đang làm việc trên các mô hình cáp internet xuyên Đại Tây Dương và thay thế cáp rất tốn kém đến mức khác biệt chi phí nâng cấp lên nhân tố hai nhanh hơn và nâng cấp lên nhân tố ba nhanh hơn là không đáng kể. Chúng tôi cũng nói rằng vị trí của các tệp trên máy chủ đã được cung cấp và không thể sửa đổi, vì vậy chúng tôi chỉ xem xét các vấn đề định tuyến.

$U$$S \subseteq P(U)$$u \in U$

$s \in S$$u \in s$$u$

Ý tưởng là máy khách cần các tệp duy nhất cho tất cả các cụm máy chủ, do đó các cạnh kết nối máy khách với cụm máy chủ đã ở giới hạn khả năng của chúng (dung lượng của chúng là 1, các tệp có kích thước 1). Nếu máy khách tải xuống bất kỳ yếu tố nào của vũ trụ từ bất kỳ cụm nào, cạnh kết nối với cụm đó sẽ bị quá tải. Vì chúng tôi chỉ yêu cầu giảm thiểu số lượngvề tình trạng quá tải (và không vượt quá khả năng của chúng tôi), khách hàng có thể tải xuống phần còn lại của các phần tử của vũ trụ được lưu trữ tại cụm máy chủ đó (vì vậy phần còn lại của các phần tử con tương ứng) mà không bị phạt. Điều này do đó tương ứng với tập hợp con được chọn. Máy khách muốn tải xuống tất cả các tệp trong vũ trụ một lần, vì vậy vũ trụ thực sự sẽ được bảo vệ và để giảm thiểu số lượng cạnh bị quá tải, chúng ta cần giảm thiểu số lượng tập hợp con được chọn.

Lưu ý rằng việc xây dựng ở trên mang lại một biểu đồ cây, vì vậy đây là một ví dụ về vấn đề NP-hard trên cây.

Vấn đề dòng chảy không thể tách rời. Trong thực tế, UFP khó ngay cả trên một cạnh (Knapsack).

$G(V, E)$$NP$ -complete ngay cả khi đầu vào bị giới hạn ở các cây.

Chính thức, vấn đề là:

HÌNH ẢNH THAM GIA

$T = (V,E)$

$\{E1,E2 \}$$E$$T1 = (V,E1)$$T2 = (V,E2)$

Cột NP-đầy đủ trích dẫn bản thảo chưa xuất bản của Graham và Robinson, "Yếu tố đẳng cấu IX: thậm chí cả cây".

DS Johnson, Cột đầy đủ NP: một hướng dẫn liên tục, Tạp chí thuật toán 3 (1982), 288 mộc300

Bằng cách nào đó tôi đã bỏ lỡ vấn đề Số Achromatic trong câu trả lời cuối cùng, nhưng đây là một trong những vấn đề tự nhiên nhất mà tôi biết, đó là NP-đầy đủ trên cây.

Một màu hoàn chỉnh của đồ thị là một màu thích hợp sao cho có một cạnh giữa mỗi cặp lớp màu. Màu sắc có thể được nêu tương phản với Màu sắc hài hòa, vì một màu thích hợp sao cho mỗi cặp màu xuất hiện trên ít nhất một cạnh. Ngoài ra, nó có thể được coi là một sự đồng hình hoàn chỉnh (hoặc đầy đủ) với một cụm. Vấn đề Số Achromatic là một vấn đề tối đa hóa , trong đó chúng tôi tìm kiếm số lượng lớn nhất của các lớp màu trong một màu hoàn chỉnh của biểu đồ.

Yannakakis và Gravil đã chứng minh vấn đề này là NP-hard trên phần bổ sung của đồ thị Bipartite . Cairnie và Edwards đã mở rộng kết quả đó và cho thấy vấn đề là NP-đầy đủ trên cây .

Rất nhiều công việc đã được thực hiện về vấn đề này trong lĩnh vực Thuật toán xấp xỉ [ 3 , 4 , 5 ].

$n$$k$$\lceil\frac{n}{k}\rceil$

Là mạch SAT trên cây NPC?. Các đỉnh bên trong của cây được dán nhãn là cổng OR / AND. Lá là đầu vào. Xác định xem có một bộ đầu vào thỏa mãn cho mạch để đánh giá thành True hay không.

$2^k - 1$