Có bằng chứng tồn tại thuật toán không xây dựng?

Tôi nhớ rằng tôi có thể đã gặp các tài liệu tham khảo cho các vấn đề đã được chứng minh là có thể giải quyết được với một độ phức tạp cụ thể, nhưng không có thuật toán nào được biết để thực sự đạt đến độ phức tạp này.

Tôi đấu tranh bao bọc tâm trí của tôi xung quanh làm thế nào điều này có thể là trường hợp; một bằng chứng phi xây dựng cho sự tồn tại của một thuật toán sẽ như thế nào.

Có thực sự tồn tại những vấn đề như vậy? Họ có rất nhiều giá trị thực tế?

Hãy xem xét hàm (lấy từ đây )

$\qquad \displaystyle f(n) = \begin{cases} 1 & 0^n \text{ occurs in the decimal representation of } \pi \\ 0 & \text{else}\end{cases}$

Mặc dù ngoại hình, có thể tính toán được bằng cách lập luận sau đây. Hoặc$f$

1. $0^n$ xảy ra cho mọi hoặc$n$
2. có một sao cho xảy ra nhưng thì không.0 k 0 k + $k$$0^k$$0^{k+1}$

Chúng tôi không biết đó là gì (nhưng), nhưng chúng tôi biết rằng với$f \in F = \{f_\infty, f_0, f_1, \dots \}$

1. $f_\infty(n) = 1$ và
2. $f_k(n) = [n \leq k]$ .

Vì , có thể tính toán được - nhưng chúng ta không thể nói là gì . f $F \subset \mathsf{RE}$$f$$f$

Điều này có thể không chính xác như bạn muốn nói, nhưng thuật toán cây bao trùm tối thiểu tối ưu của Seth Pettie và Vijaya Ramachandran theo nghĩa nào đó không mang tính xây dựng.

Đó là một câu hỏi mở cho dù có một thuật toán xác định để tính toán các cây bao trùm tối thiểu theo thời gian tuyến tính (có nghĩa là ). Pettie và Ramachandran mô tả một thuật toán tính MST theo thời gian tuyến tính nếu thuật toán đó tồn tại .$O(n+m)$

Theo trực giác, thuật toán của họ giảm bất kỳ trường hợp -vertex nào của vấn đề MST thành các trường hợp nhỏ hơn với các đỉnh trong thời gian tuyến tính, trong đó (giả sử) . Sau đó, họ tính toán cây so sánh tối ưu để tính cây bao trùm tối thiểu của bất kỳ đồ thị -vertex nào bằng cách liệt kê lực lượng vũ phu; ngay cả khi việc này mất thời gian theo cấp số nhân theo , thì đó chỉ là thời gian . Cuối cùng, họ giải quyết các trường hợp nhỏ bằng cách sử dụng cây quyết định tối ưu này.$n$$O(n/k)$$O(k)$$k = O(\log\log\log\log\log\log\log n)$$k$$k$$O(\log\log n)$

Nói cách khác, Pettie và Ramachandran chỉ xây dựng một thuật toán MST tối ưu một cách gián tiếp, bằng cách xây dựng một thuật toán xây dựng thuật toán MST tối ưu.

Đây là hai ví dụ.

1. Một số thuật toán sử dụng định lý Robertson-Seymour . Định lý nêu rằng có một sự cản trở hữu hạn cho từng trường hợp, nhưng không cung cấp một cách để tìm một tập hữu hạn như vậy. Do đó, mặc dù chúng tôi có thể chứng minh rằng thuật toán tồn tại, nhưng tuyên bố rõ ràng của thuật toán sẽ phụ thuộc vào tập hợp cản trở hữu hạn mà chúng tôi không biết cách tìm. Nói cách khác, chúng ta biết có một thuật toán, nhưng chúng ta chưa biết cách tìm ra một thuật toán.

2. Một ví dụ mạnh hơn, mặc dù ít tự nhiên hơn về cơ bản là sử dụng PEM hoặc các tiên đề không mang tính xây dựng tương tự. Điều này mạnh hơn theo nghĩa là chúng ta có thể chứng minh sự tồn tại mang tính xây dựng của một thuật toán sẽ ngụ ý một tiên đề không mang tính xây dựng (tương tự như các ví dụ phản biện yếu của Brouwer ). Một ví dụ như vậy mạnh hơn bởi vì nó không chỉ nói rằng chúng ta không biết ngay bất kỳ thuật toán rõ ràng nào (hoặc bất kỳ cách tìm thuật toán nào), mà còn không có hy vọng làm như vậy.

   Ví dụ, chúng ta có thể sử dụng PEM để chứng minh một thuật toán tồn tại trong khi chúng ta không biết cái nào và cách tìm kiếm mang tính xây dựng sẽ ngụ ý một tiên đề không mang tính xây dựng. Hãy để tôi đưa ra một ví dụ đơn giản:

   Vấn đề tạm dừng có thể quyết định được đối với từng máy Turing cố định (mỗi TM tạm dừng hoặc không dừng lại và trong mỗi trường hợp có một TM đưa ra câu trả lời đúng), nhưng làm thế nào chúng ta có thể tìm ra thuật toán giải quyết vấn đề một cách chính xác mà không cần giải quyết ( phiên bản thống nhất của) vấn đề tạm dừng?

   Chính thức hơn, chúng tôi không thể chứng minh một cách xây dựng mà đưa ra một TM , có một TM rằng quyết định vấn đề ngăn chặn cho . Chính thức hơn, tuyên bố sau đây không thể được chứng minh một cách xây dựng:$M$$H_T$$M$

   $$\forall e\in \mathbb{N} \ \exists f\in \mathbb{N} \ \left[ (\{f\}( \ )=0 \land \{e\}\mathord{\downarrow}) \lor (\{f\}( \ )=1 \land \{e\}\mathord{\uparrow}) \right]$$

   Ở đây là TM có mã (trong một số đại diện cố định của TM), có nghĩa là tạm dừng và có nghĩa là không dừng lại.e { e } ↓ { e } { f } ↑ { f $\{e\}$$e$$\{e\}\mathord{\downarrow}$$\{e\}$$\{f\}\mathord{\uparrow}$$\{f\}$

Đúng.

Tại một thời điểm trong (1), định lý phân đôi đồng phân đồ thị có trọng số phức cho bất kỳ kích thước miền hữu hạn nào, Cai, Chen và Lu chỉ chứng minh sự tồn tại của việc giảm thời gian đa thức giữa hai bài toán đếm qua phép nội suy đa thức. Tôi không biết bất kỳ giá trị thực tế nào cho một thuật toán như vậy.

Xem Phần 4 của phiên bản arXiv. Bổ đề trong câu hỏi là Bổ đề 4.1, được gọi là "Bổ đề ghim đầu tiên".

Một cách để đưa ra bằng chứng mang tính xây dựng này là chứng minh phiên bản có trọng số phức tạp của kết quả của Lovasz , cụ thể là:

$G$$Z_H(G, w, i) = Z_H(G, w, j)$$f$$G$$f(i) = j$

$w$$H$$i$$j$$G$$Z_H(G, w, i)$$G$$H$$i$$w$

(1) Jin-Yi Cai, Xi Chen và Pinyan Lu, Biểu đồ đồng hình với các giá trị phức tạp: Định lý lưỡng phân ( arXiv ) ( ICALP 2010 )

Một số kết quả ban đầu từ cuối thập niên 80:

• Fellows và Langston, " Công cụ phi cấu trúc để chứng minh tính quyết định thời gian đa thức ", 1988

• Brown, Fellows, Langston, " Tự giảm thời gian đa thức: động lực lý thuyết và kết quả thực tế ", 1989

Từ bản tóm tắt của mục thứ hai:

Tuy nhiên, những tiến bộ cơ bản gần đây trong lý thuyết đồ thị đã tạo ra các công cụ phi cấu trúc mới mạnh mẽ có thể áp dụng để đảm bảo tư cách thành viên trong P. Các công cụ này không mang tính xây dựng ở hai cấp độ khác nhau: chúng không tạo ra thuật toán quyết định, chỉ tạo ra độ chính xác của bộ cản trở , họ cũng không tiết lộ liệu một thuật toán quyết định như vậy có thể giúp ích gì cho việc xây dựng một giải pháp hay không. Chúng tôi xem xét ngắn gọn và minh họa việc sử dụng các công cụ này và thảo luận về nhiệm vụ dường như ghê gớm của việc tìm kiếm các thuật toán quyết định thời gian đa thức đã hứa khi các công cụ mới này áp dụng.

Một ví dụ về một gia đình vô tận của các vấn đề (có giá trị thực tế khả nghi) mà chúng ta có thể chỉ ra:

1. Điều đó cho mỗi vấn đề tồn tại một thuật toán để giải quyết nó.
2. Rằng không có cách nào để xây dựng các thuật toán này (nói chung).

$M$

$L_{M}=\Bigl\{\langle M'\rangle \;\Big|\;\; L(M)=L(M') \text{ and } |\langle M\rangle| \geq | \langle M' \rangle| \Bigr\}$

1. $M$

2. M P ( ⟨ M ⟩ ) L M M M $P$$M$$P(\langle M \rangle)$$L_M$$M$$M'$$|\langle M \rangle | \geq |\langle M' \rangle|$$P(\langle M \rangle)(\langle M' \rangle)$$P$

Từ "Lý thuyết giá trị và biểu đồ thuật toán thuật toán ghi chú lý thuyết nhỏ" cho Hướng dẫn của MohammadTaghi Hajiaghayi, bởi Mareike Massow, Jens Schmidt, Daria Schymura và Siamak Tazari.

Mỗi thuộc tính đồ thị đóng nhỏ có thể được đặc trưng bởi một tập hợp hữu hạn các vị thành niên bị cấm.

Thật không may, kết quả của họ là không có tính chất xây dựng, tức là không có thuật toán nào có thể xác định chung loại nào sẽ được loại trừ đối với thuộc tính đồ thị đóng nhỏ nhất định. Hơn nữa, số lượng vị thành niên bị cấm có thể cao: Ví dụ: đối với các biểu đồ có thể nhúng trên hình xuyến, hơn 30.000 vị thành niên bị cấm đã được biết, tuy nhiên danh sách này chưa đầy đủ.

[...]

Mỗi thuộc tính đồ thị đóng nhỏ có thể được quyết định trong thời gian đa thức (ngay cả trong thời gian khối).

Thuật toán Lovász bổ đề cục bộ - "bổ đề địa phương Lovász thuật toán đưa ra một cách thức thuật toán để xây dựng các đối tượng tuân theo một hệ thống các ràng buộc với sự phụ thuộc hạn chế. ... Tuy nhiên, bổ đề này không mang tính xây dựng ở chỗ để tránh những sự kiện xấu. " Trên một số giả định / giới hạn về phân phối, một thuật toán được xây dựng được đưa ra bởi Moser / Tardos [1]. Bổ đề địa phương Lovasz dường như có nhiều mối liên hệ sâu sắc với lý thuyết phức tạp, ví dụ, xem [2]

[1] Một bằng chứng mang tính xây dựng của Bổ đề địa phương Lovász của Moser, Tardos

[2] Bổ đề địa phương Lovasasz và sự thỏa mãn Gebauer, Moser, Lập lịch, Welzl