Ngoài ra có thể được thực hiện trong ít hơn độ sâu 5?

Sử dụng thuật toán carry look front chúng ta có thể tính toán bổ sung bằng cách sử dụng một mạch có kích thước đa thức độ sâu 5 (hoặc 4?) . Có thể giảm độ sâu? Chúng ta có thể tính toán việc cộng hai số nhị phân bằng cách sử dụng họ mạch kích thước đa thức với độ sâu nhỏ hơn độ sâu thu được bằng thuật toán carry look before không? $AC^0$

Có bất kỳ giới hạn siêu đa thức nào cho kích thước của các họ mạch điện toán trong đó là 2 hoặc 3 không? $AC^0_d$ $d$

Theo chiều sâu tôi có nghĩa là độ sâu xen kẽ.

— Vô danh
nguồn

Bạn có thể cho chúng tôi biết tên của bạn? Bạn là ai? Trong khoảng một tháng qua, mọi người sẽ tạo một tên người dùng mới ở đây, đặt câu hỏi và sau đó xóa tên người dùng đó!

— Tayfun Trả tiền

@Geekster, nói chung mọi người không bắt buộc phải tạo tài khoản hoặc sử dụng tên thật của họ (tuy nhiên, điều đó được khuyến khích để làm như vậy vì nhiều lý do). Nếu bạn có mối quan tâm chung về một cái gì đó, vui lòng sử dụng Meta Khoa học máy tính lý thuyết để nâng cao nó.

— Kaveh

Điều này có thể bị ép buộc bằng cách xác minh rằng không có mạch độ sâu AC có thể tính tổng -bit của hai đầu vào -bit cho một số cố định ; chỉ có các hàm boolean chính xác của các bit đầu vào có thể xuất hiện ở mỗi độ sâu.

4

$4$

^{0}

$^{0}$

(m + 1)

$(m+1)$

m

$m$

m

$m$

— mjqxxxx

@mjqxxxx: Làm thế nào để bạn thực thi ràng buộc kích thước đa thức trên các mạch AC0 khi brute-buộc cho một m cố định? @ OP: Là độ sâu mạch tốt nhất hiện tại 4 hay độ sâu 5?

— Robin Kothari

@mjqxxxx: Mọi hàm Boolean đều được tính toán theo độ sâu mạch. Bây giờ, giả sử bạn tìm cho một mạch có kích thước cố định . Làm thế nào để bạn đánh giá liệu có các mạch kích thước cho mọi , trong đó hoặc chỉ có các mạch có kích thước , trong đó ? Đơn giản là không có cách nào để suy ra thông tin tiệm cận từ một ví dụ hữu hạn.

2

$2$

m

$m$

s

$s$

c n

$cn$

n

$n$

c = s / m

$c=s/m$

2^{ϵ n}

$2^{\epsilon n}$

ϵ = (\log s) / m

$\epsilon=(\log s)/m$

— Emil Jeřábek hỗ trợ Monica

Câu trả lời:

Theo Định lý 3.1 trong Mạch điện tử của Alexis Maciel và Denis Therien có độ sâu nhỏ , thực sự có một mạch sâu 3 để tính toán thêm hai số.

Giới hạn chính xác là trong đó là các vấn đề có độ sâu-2 với cả hai cổng ở trên cùng và mạch là mạch có độ sâu một (xem bài viết để được giải thích chi tiết về ký hiệu). $\Delta_2 \cdot \mathsf{NC}^0_1$ $\Delta_2 = \Sigma_2 \cap \Pi_2$ $\mathsf{AC}^0$ $\vee,\wedge$ $\mathsf{NC}^0_1$ $\mathsf{NC}^0$

Các ý tưởng bằng chứng chính là:

Đầu tiên, biểu thị mạch Carry-lookahead là $\mathsf{NC}^0\cdot\Delta_2\cdot\mathsf{NC}^0$
Tiếp theo, gọi các thuộc tính đóng của để viết này là $\Delta_2$ $\Delta_2\cdot\mathsf{NC}^0$
Cuối cùng, sử dụng thực tế (cũng đã được chứng minh trong bài báo) rằng $\mathsf{NC}^0 \subset \Delta_1\cdot\mathsf{NC}^0_1$

— SamiD
nguồn

Các mạch độ sâu 2 yêu cầu kích thước theo cấp số nhân để tính toán bổ sung vì mạch độ sâu 2 phải là DNF hoặc CNF và thật dễ dàng để xác minh rằng có nhiều minterms và maxterms theo cấp số nhân.

Cảnh báo : phần bên dưới là lỗi . Xem các ý kiến dưới câu trả lời.

Cách tôi đếm, phép cộng có thể được thực hiện ở độ sâu 3. Giả sử và là các bit thứ của hai số, trong đó là chỉ số của LSB và của MSB. $a_i$ $b_i$ $i$ $0$ $n$

Hãy để chúng tôi tính bit thứ của tổng, theo cách tiêu chuẩn với mang theo phía trước: $i$ $s_i$

s_{i} = a_{i} \oplus b_{i} \oplus c_{i}

$s_i = a_i \oplus b_i \oplus c_i$

trong đó là XOR và là carry được tính là: $\oplus$ $c_i$

c_{i} = \underset{j ∣ j < i}{⋁} (g_{j} \land p_{j})

$c_i = \bigvee_{j\mid j < i} (g_j \wedge p_j)$

và có nghĩa là vị trí thứ "tạo ra" carry: $g_j$ $j$

g_{j} = (a_{j} \land b_{j})

$g_j = (a_j \wedge b_j)$

và có nghĩa là carry được truyền từ đến : $p_j$ $j$ $i$

p_{j} = \underset{k ∣ j < k < i}{⋀} (a_{j} \lor b_{j})

$p_j = \bigwedge_{k\mid j < k < i} (a_j \vee b_j)$

Đếm độ sâu, là độ sâu 2 và là độ sâu 3. Mặc dù có vẻ như là độ sâu 4 hoặc 5, nhưng nó thực sự cũng chỉ là độ sâu 3 vì nó là một phép tính fanin giới hạn của độ sâu 3 mạch nên người ta có thể đẩy hạ hai cấp xuống bằng cách sử dụng các công thức de-Morgan, trong khi thổi kích thước mạch bằng một lượng đa thức. $p_j$ $c_i$ $s_i$

— Buổi sáng
nguồn

Tôi hoàn toàn không thấy cách tính toán fanin bị ràng buộc của độ sâu 3 mạch tự động là độ sâu 3. Nếu, giả sử, bạn viết là , bạn có thể thực hiện lần đầu tiên phân tách mạch 3 độ sâu với trên đầu và mạch thứ hai phân biệt mạch 3 độ sâu với trên đầu. Tôi không thấy làm thế nào để đẩy sự phân tách trên cùng xuống mà không tăng độ sâu một lần để tính đến sự không khớp giữa các loại liên kết trong hai phần. Điều này có thể được khắc phục bằng cách lưu ý rằng cũng có thể được tính theo một cách khác bằng mạch 3 độ sâu ...

s_{i}

$s_i$

(c_{i} \land \neg (a_{i} \oplus b_{i})) \lor (\neg c_{i} \land (a_{i} \oplus b_{i}))

$(c_i\land\neg(a_i\oplus b_i))\lor(\neg c_i\land(a_i\oplus b_i))$

⋁

$\bigvee$

⋀

$\bigwedge$

c_{i}

$c_i$

— Emil Jeřábek hỗ trợ Monica

... với trên đầu trang. Mặt khác, tất cả các mạch độ sâu 3 đã giới hạn quạt phía dưới, vì vậy tôi gọi chúng là độ sâu 2 1/2.

⋀

$\bigwedge$

— Emil Jeřábek hỗ trợ Monica

Đó là hiển nhiên. Điều tôi đang chỉ ra là như đã viết, bạn không có ở đây một OR gồm hai mạch sâu với AND ở trên cùng. Bạn có OR của hai mạch độ sâu , một trong số đó có AND ở trên cùng và mạch kia có OR ở trên cùng. Tôi nghi ngờ các mạch như vậy có thể được chuyển đổi sang độ sâu nói chung. Hãy suy nghĩ về các đa thức - trong AND và OR như là các bộ lượng hóa. Bạn có thể biểu thị dưới dạng prenex công thức với các khối định lượng , nhưng bạn cần các khối để thể hiện ...

d

$d$

d

$d$

d

$d$

(\forall x_{1} \exists x_{2} \dots Q x_{d} ϕ (x_{1}, \dots, x_{d})) \lor (\forall x_{1} \exists x_{2} \dots Q x_{d} ψ (x_{1}, \dots, x_{d}))

$(\forall x_1\exists x_2\dots Qx_d\phi(x_1,\dots,x_d))\lor(\forall x_1\exists x_2\dots Qx_d\psi(x_1,\dots,x_d))$

d

$d$

d + 1

$d+1$

— Emil Jeřábek hỗ trợ Monica

... công thức .

(\forall x_{1} \exists x_{2} \dots Q x_{d} ϕ (x_{1}, \dots, x_{d})) \lor (\exists x_{1} \forall x_{2} \dots \bar{Q} x_{d} ϕ (x_{1}, \dots, x_{d}))

$(\forall x_1\exists x_2\dots Qx_d\phi(x_1,\dots,x_d))\lor(\exists x_1\forall x_2\dots \overline Qx_d\phi(x_1,\dots,x_d))$

— Emil Jeřábek hỗ trợ Monica

Đối với một ví dụ rõ ràng theo nguyên tắc chung, hãy đặt là một nhóm các hàm được tính toán bằng các mạch với OR trên đỉnh yêu cầu các mạch độ sâu siêu đa thức với AND ở trên cùng (ví dụ: Chức năng Sipser). Sau đó không có mạch . Giả sử mâu thuẫn rằng là các mạch như vậy và có OR ở trên cùng (trường hợp khác là đối xứng). Bằng cách đặt , chúng tôi thu được các mạch cho với OR ở trên cùng, do đó mạch cho

f_{n} (x_{1}, \dots, x_{n})

$f_n(x_1,\dots,x_n)$

A C_{d}^{0}

$AC^0_d$

d

$d$

x_{0} \oplus f_{n}

$x_0\oplus f_n$

A C_{d}^{0}

$AC^0_d$

C_{n} (x_{0}, \dots, x_{n})

$C_n(x_0,\dots,x_n)$

C_{n}

$C_n$

x_{0} = 1

$x_0=1$

A C_{d}^{0}

$AC^0_d$

\neg f_{n}

$\neg f_n$

A C_{d}^{0}

$AC^0_d$

f_{n}

$f_n$ với AND trên đỉnh, một mâu thuẫn.

— Emil Jeřábek hỗ trợ Monica