Độ phức tạp của các đường đếm trong đồ thị

Cho một đồ thị có hướng với n nút sao cho mỗi đỉnh có chính xác hai cạnh đi và một số tự nhiên N được mã hóa ở dạng nhị phân, hai đỉnh s và t,

Tôi muốn đếm số lượng đường dẫn (không nhất thiết đơn giản) từ s đến t trong N bước.

Đây có phải là một vấn đề # P-hard? Hay nói chung, sự phức tạp của vấn đề này là gì?

cc.complexity-theory graph-theory counting-complexity

— maomao
nguồn

Bạn đã thử cung cấp năng lượng ma trận?

— Yuval Filmus

vâng, nhưng sự phức tạp vẫn chưa được biết đến như tôi có thể thấy.

— maomao

Đi bộ có phải kết thúc tại t hoặc chỉ ghé thăm t tại một số điểm trong cuộc đi bộ?

— Tyson Williams

nó phải kết thúc tại t.

— maomao

@Geekster Đối với digraph đầy đủ về 3 đỉnh với

, số là số thứ N Fibonacci, kích thước trong số đó là mũ trong N, cũng giống như David đã lập luận trong câu trả lời của mình cho bất kỳ đồ thị.

s \neq t

$s \ne t$

— Tyson Williams

Câu trả lời:

Số lượng các đường dẫn có thể (chọn tùy ý và sau đó chọn là đỉnh đó là điểm cuối của số lượng lớn nhất của đi từ ) mà đòi hỏi $\Omega(2^N/n)$ $s$ $t$ $2^N$ $s$ $\Omega(N)$ bit để ghi rõ ràng; đây là số mũ trong kích thước đầu vào. Mặt khác, phương pháp cung cấp năng lượng ma trận có đa thức phức tạp trong tổng kích thước đầu vào và đầu ra. Vì vậy, điều đó dường như đặt nó vào nhóm các bài toán đếm có đầu ra theo cấp số mũ và có thể được giải quyết một cách xác định theo đa thức thời gian trong kích thước đầu ra của chúng, bất kể ký hiệu nào cho lớp đó là (đó là một kiểu đếm tương tự cho EXP và chắc chắn không phải là #EXP tương tự như NEXP).

— David Eppstein
nguồn

cảm ơn, nhưng tôi vẫn muốn biết liệu vấn đề này có phải là

♯ P

$\sharp P$

— maomao

Để tránh số lượng lớn trong phương pháp bình phương lặp đi lặp lại của David, chúng ta có thể thực hiện tất cả các phép tính modulo một số nguyên tố p. Sau đó, thuật toán tổng thể chạy trong đa thức thời gian trong

. Nếu vấn đề là # P-cứng dưới thời gian đa thức tiêu dùng tiết kiệm nhiều một giảm, các thuật toán với

sẽ bao hàm P =

P, mà chúng tôi không tin.

n + \log N + \log p

$n + \log N + \log p$

p = 2

$p=2$

\oplus

$\oplus$

— Holger

@Holger sẽ không tranh luận tương tự cho Thường trực? tức là nếu thường trực là # P-cứng sau đó Perm mod 2 sẽ

P cứng. Nhưng Perm mod 2 = Det mod 2 ở P.

\oplus

$\oplus$

— SamiD

@SamiD: Chính xác, chương trình lập luận của bạn rằng vĩnh viễn có lẽ không phải # P-cứng dưới tiêu dùng tiết kiệm giảm. Các bằng chứng đã biết sử dụng giảm Turing.

— Holger

@Holger tôi đồng ý. Xin lỗi tôi đã bỏ lỡ phần nhiều một phần. Do đó, vấn đề cấp nguồn cho ma trận cũng có thể là # P-hard trong phần giảm Turing.

— SamiD

Tìm một chút của trong đó là ma trận kề của đồ thị đã cho giảm vấn đề được xác định đầu tiên trong [ABKPM] có giới hạn dưới được thiết lập trong cùng một bài báo. Tuy nhiên, liệu việc giảm theo hướng ngược có giữ được hay không, tức là từ đến vấn đề cấp nguồn ma trận, có mở AFAIK không. $A^N[s,t]$ $A$ $\mathsf{BitSLP}$ $\#\mathsf{P}$ $\mathsf{BitSLP}$

Chú ý rằng ngồi thẳng bên trong hệ thống phân cấp đếm . Giới hạn trên nổi tiếng nhất về vấn đề này viz. là từ đây . $\mathsf{BitSLP}$ $\mathsf{CH} \subseteq \mathsf{PSPACE}$ $\mathsf{PH}^{\mathsf{PP}^{\mathsf{PP}^{\mathsf{PP}}}}$

— SamiD
nguồn

Vấn đề là # P-đầy đủ. Hãy xem xét vấn đề đếm các đường đi ngắn nhất trong biểu đồ (ND31 ở Garey & Johnson) là # P-hoàn chỉnh cho phiên bản đếm. Đọc kỹ bình luận. Điều này sẽ cho câu trả lời cho các đường có độ dài . Để có câu trả lời cho các đường dẫn có độ dài , hãy gọi bài toán đường dẫn ngắn nhất cho và , sau đó trừ đi đường sau từ trước, tức là thực hiện phép trừ trừ. $\leq N$ $=N$ $\leq N$ $\leq N-1$

Vì việc giảm từ #HAMILTONIAN PATHS / CIRCUITS thành #SHORTEST PATHS cũng hoạt động đối với các biểu đồ 3 thông thường, kết quả hoàn thành # P cũng sẽ có tác dụng đối với việc hạn chế các bản vẽ của bạn với độ ngoài . $\leq 2$

— Miki Hermann
nguồn

Vấn đề ban đầu không yêu cầu đường dẫn phải đơn giản, vì vậy tôi không nghĩ câu trả lời là đúng.

— maomao

Làm thế nào nó có thể hoàn thành # P khi tất cả các vấn đề #P có số lượng giải pháp theo cấp số nhân trong kích thước đầu vào và giải pháp này là số mũ gấp đôi?

— David Eppstein

"ND31" có nghĩa là gì trong bối cảnh cuốn sách của Garey và Johson?

— Tyson Williams