Các thuật toán tham lam tối ưu cho các bài toán NP-hard

Tham lam, vì thiếu một từ tốt hơn, là tốt. Một trong những mô hình thuật toán đầu tiên được dạy trong khóa học thuật toán giới thiệu là cách tiếp cận tham lam . Cách tiếp cận tham lam dẫn đến các thuật toán đơn giản và trực quan cho nhiều vấn đề trong P. Thú vị hơn, đối với một số vấn đề NP-hard, thuật toán tham lam / cục bộ rõ ràng và tự nhiên dẫn đến (có thể chứng minh) yếu tố gần đúng tối ưu (theo giả định lý thuyết phức tạp phù hợp). Một ví dụ kinh điển là Vấn đề Đặt bìa . Một thuật toán tham lam tự nhiên đưa ra hệ số xấp xỉ O (ln n), là tối ưu trừ khi P = NP.

Kể tên một số thuật toán tham lam / cục bộ tự nhiên cho các bài toán NP-hard có thể tối ưu hóa theo các giả định lý thuyết phức tạp phù hợp.

$i=1,\ldots,n$$x_i$$1/2$$1/2$

$7/8$$P=NP$

Vertex Cover: Thuật toán xấp xỉ hệ số xấp xỉ tốt nhất liên quan đến (tham lam) tìm kiếm một kết hợp tối đa và chọn tất cả các đỉnh liên quan làm giải pháp gần đúng. Điều này mang lại một giải pháp gần đúng 2 và không có phép tính xấp xỉ hệ số không đổi tốt hơn trừ khi Giả thuyết trò chơi duy nhất là sai.

Subhash Khot và Oded Regev, nắp Vertex có thể khó xấp xỉ trong vòng 2 , JCSS 74 (3), 2008.

Off topic: Tôi nghĩ rằng đây là một thuật toán xấp xỉ thực sự dễ thương, đặc biệt vì nó rất tầm thường với lợi ích của nhận thức muộn.

Cho một đồ thị có hướng, tìm đồ thị con theo chu kỳ với số cạnh tối đa.

Thuật toán xấp xỉ 2 tầm thường: Chọn một thứ tự tùy ý các đỉnh và lấy các cạnh tiến hoặc cạnh lùi.

Đánh bại xấp xỉ 2 được biết đến là trò chơi Unique-hard (mặc dù nó có thể không phải là NP-hard).

• Đánh bại thứ tự ngẫu nhiên là khó: Tính không thể đạt được của biểu đồ con chu kỳ tối đa Venkatesan Guruswami, Rajsekar Manokaran và Prasad Raghavendra.

Tối đa hóa mô hình liên quan đến ràng buộc cardinality có xấp xỉ 1-1 / e tham lam. Thuật toán là do Nemhauser, Wolsey, Fisher. Độ cứng NP xuất phát từ độ cứng np của lớp phủ vì độ che phủ tối đa là trường hợp đặc biệt của tối đa hóa mô đun.

Greedy đưa ra một xấp xỉ (1-1 / e) cho Max-k-cover, và điều này không thể được cải thiện trừ khi P = NP.

Tìm kiếm một mức độ tối thiểu MST. Thật khó khăn khi tìm thấy một con đường hamiltonian là một trường hợp đặc biệt. Một thuật toán tìm kiếm cục bộ cung cấp cho trong hằng số phụ gia 1.

Tài liệu tham khảo

Xấp xỉ cây Steiner độ tối thiểu trong phạm vi tối ưu

$k$$G = (V,E)$$d_{ij} \geq 0$$i,j \in V$$k$

$k$$S \subseteq V, |S| = k$$k$$k$$k$$r$$r$

$i \in V$$S$$|S| < k$$j \in V$$d(j,S)$$S$$|S| = k$

$2$$k$$\rho$$\rho < 2$$P = NP$$k$$k$$2$

$P|prec|C_{max}$

Độ cứng có điều kiện của quyền ưu tiên Lập kế hoạch ràng buộc trên các máy giống hệt của Ola Svensson

Có thể điều này cũng khiến bạn quan tâm (được điều chỉnh từ Phương thức để dịch các ràng buộc toàn cầu sang các ràng buộc cục bộ )

Vì các phương thức tham lam (chính xác hơn là phương pháp cục bộ ) chỉ sử dụng thông tin địa phương để đạt được tối ưu hóa toàn cầu, nếu các phương pháp được tìm thấy có thể chuyển đổi các điều kiện toàn cầu thành các điều kiện chỉ có thể sử dụng thông tin địa phương, thì điều này cung cấp giải pháp tối ưu (toàn cầu) cho các vấn đề chỉ sử dụng các kỹ thuật tham lam / địa phương.

Tài liệu tham khảo:

1. Suy nghĩ toàn cầu, phù hợp với địa phương: Học tập không có giám sát về các biểu hiện kích thước thấp (Tạp chí nghiên cứu máy học 4 (2003))
2. Tối ưu hóa toàn cầu bằng cách sử dụng thông tin địa phương với các ứng dụng để kiểm soát dòng chảy, Bartal, Y.
3. Tại sao Gradient tự nhiên?, Amari S., Douglas SC
4. Tối ưu hóa cục bộ các mục tiêu toàn cầu: phân giải bế tắc phân bổ cạnh tranh và phân bổ nguồn lực, Awerbuch, Baruch, Azar, Y.
5. Học với sự nhất quán địa phương và toàn cầu
6. Các vấn đề thỏa mãn ràng buộc có thể giải quyết bằng các phương pháp nhất quán địa phương

Có một số tài liệu tham khảo giải quyết vấn đề dịch các hàm đánh giá toàn cầu (hoặc các ràng buộc) sang các hàm cục bộ (sử dụng thông tin địa phương) và tính nhất quán của chúng (nghĩa là hội tụ đến cùng tối ưu toàn cầu):

1. Các hàm đánh giá cục bộ và các hàm đánh giá toàn cầu cho sự tiến hóa tính toán, HAN Jing, 2003
2. Sự nổi lên từ chức năng đánh giá địa phương, Han Jing và Cai Qingsheng, 2002

Tóm tắt (từ 1. ở trên)

Bài viết này trình bày một cái nhìn mới về sự tiến hóa tính toán từ khía cạnh địa phương và tính toàn cầu của các hàm đánh giá để giải bài toán tổ hợp cổ điển: Bài toán tô màu (bài toán quyết định) và Bài toán tô màu tối thiểu (bài toán tối ưu hóa). Trước tiên chúng tôi xem xét các thuật toán hiện tại và mô hình hóa vấn đề tô màu như một hệ thống đa tác nhân. Sau đó, chúng tôi chỉ ra rằng sự khác biệt cơ bản giữa các thuật toán truyền thống (Tìm kiếm cục bộ, chẳng hạn như mô phỏng luyện kim) và thuật toán phân tán (như mô hình Alife & AER) nằm trong chức năng đánh giá: Mô phỏng sử dụng thông tin toàn cầu để đánh giá toàn bộ trạng thái hệ thống, được gọi là phương pháp Đánh giá toàn cầu (GEF); mô hình Alife & AER sử dụng thông tin địa phương để đánh giá trạng thái của một tác nhân, được gọi là phương pháp Hàm đánh giá cục bộ (LEF). Chúng tôi so sánh hiệu suất của các phương pháp LEF và GEF để giải quyết các vấn đề tô màu k và các vấn đề tô màu tối thiểu. Các kết quả thử nghiệm trên máy tính cho thấy LEF có thể so sánh với các phương pháp GEF (Mô phỏng luyện kim và Tham lam), trong nhiều trường hợp vấn đề, LEF đánh bại các phương pháp GEF. Đồng thời, chúng tôi phân tích mối quan hệ giữa GEF và LEF: tính nhất quán và không nhất quán. Định lý nhất quán cho thấy Nash Equilibria của LEF giống hệt với tối ưu cục bộ của GEF khi LEF phù hợp với GEF. Định lý này phần nào giải thích tại sao LEF có thể dẫn hệ thống đến mục tiêu toàn cầu. Một số quy tắc để xây dựng một LEF nhất quán được đề xuất. Ngoài sự nhất quán,

Xác định giấy xác định các phương thức để xác định xem một hàm cục bộ (LEF) có phù hợp với hàm toàn cầu (GEF) và các phương thức để xây dựng các LEF nhất quán từ các GEF đã cho ( định lý nhất quán ) hay không.

Trích từ phần Kết luận (từ 1. ở trên)

Bài viết này chỉ là khởi đầu của các nghiên cứu LEF & GEF. Ngoài báo cáo nghiên cứu ở trên, vẫn còn rất nhiều công việc trong tương lai: nhiều thử nghiệm hơn về các phương pháp LEF; nghiên cứu phân tích về LEF; đầy đủ thông tin địa phương cho LEF; và sự tồn tại của GEF nhất quán cho bất kỳ LEF nào; Là khái niệm nhất quán là đủ? Vì Thuật toán di truyền cũng có chức năng đánh giá (chức năng thể dục), chúng tôi có thể áp dụng LEF & GEF cho thuật toán di truyền không? Đây là ý định của chúng tôi để nghiên cứu và cố gắng trả lời tất cả những câu hỏi này