Đồ thị đẳng cấu với cây

Nếu chúng ta có một đồ thị lớn (có hướng) và một cây gốc nhỏ hơn , thì độ phức tạp được biết đến nhiều nhất để tìm các đồ thị con của đẳng cấu với gì? Tôi nhận thức được kết quả cho sự đồng hình của cây con trong đó cả và đều là cây và cũng là nơi là mặt phẳng hoặc có giới hạn treewidth (và các loại khác) nhưng không phải cho biểu đồ và trường hợp cây này. $G$ $H$ $G$ $H$ $G$ $H$ $G$

ds.algorithms reference-request graph-theory

— Raphael
nguồn

Bạn có nghĩa là đồ thị cảm ứng, thay vì đồ thị con?

— Kristoffer Arnsfelt Hansen

@Kristoffer, tôi quan tâm đến cả hai. Tôi đã bỏ lỡ một cái gì đó tầm thường về trường hợp không gây ra?

— Raphael

Vấn đề của bạn là NP-hard ngay cả khi là một đường dẫn, vì vấn đề đường dẫn dài nhất (gây ra hoặc không gây ra) là NP-hard.

H

$H$

— Yota Otachi

Đúng. Tôi quan tâm đến những gì được biết nhiều hơn, đặc biệt đối với là một cái cây. Ví dụ: tùy thuộc vào các thuộc tính của chẳng hạn như các thuộc tính trong câu hỏi hoặc giả sử được sửa, v.v.

H

$H$

G

$G$

H

$H$

— Raphael

Vấn đề đường dẫn cảm ứng là W [1] -complete (Papadimitriou-Yannakakis 1991) trong khi vấn đề đường dẫn (không gây ra) là FPT (Monien 1985). Xem thêm Chen-Flum 2007. Tôi cũng muốn biết độ phức tạp được tham số hóa cho các lớp cây khác.

— Yota Otachi

Câu trả lời:

Câu hỏi liệu có bất kỳ đồ thị cố định là một sơ đồ con (cảm ứng) của là một thuộc tính có thể xác định theo thứ tự đầu tiên không, nghĩa là, với mỗi có một công thức ( ) sao cho là một sơ đồ con (cảm ứng) của nếu và chỉ khi ( ). $H$ $G$ $H$ $\varphi_H$ $\psi_H$ $H$ $G$ $G \models \varphi_H$ $G\models\psi_H$

Trước đây người ta đã biết rằng vấn đề kiểm tra mô hình là có thể điều chỉnh tham số cố định trên các lớp biểu đồ (cục bộ) loại trừ một phụ và trên các lớp mở rộng giới hạn (cục bộ) . Gần đây, Grohe, Kreutzer và S. đã đưa ra một định lý meta tổng quát hơn nữa, nói rằng mọi thuộc tính bậc nhất có thể được quyết định trong thời gian gần như tuyến tính trên các lớp đồ thị dày đặc.

Đối với câu hỏi của bạn điều này ngụ ý sau đây. Cho là cây gốc cố định. Sau đó, có thể quyết định theo thời gian tuyến tính xem là một sơ đồ con (cảm ứng) của đồ thị đầu vào (có hướng hoặc không được định hướng) nếu là phẳng, hay nói chung là từ một lớp loại trừ một phụ hoặc từ một lớp mở rộng giới hạn. Vấn đề có thể được quyết định trong thời gian gần như tuyến tính nếu là từ một lớp loại trừ cục bộ hoặc từ một lớp mở rộng giới hạn cục bộ hoặc nói chung nhất, là từ một lớp đồ thị dày đặc. $H$ $H$ $G$ $G$ $G$ $G$

— Sebastian Siebertz
nguồn

Nó có thể được giải trong thời gian dự kiến ngẫu nhiên trong đó là kích thước của cây định hướng nhỏ được tìm thấy và là số cạnh của đồ thị có hướng lớn để tìm nó. Xem Định lý 6.1 của Alon, N., Yuster, R. và Zwick, U. (1995). Mã màu. J. ACM 42 (4): 844 Từ856 . Alon et al. cũng nói rằng thuật toán của họ có thể bị khử từ nhưng không cung cấp chi tiết cho phần đó; Tôi nghĩ rằng thời gian xác định có thể lớn hơn một chút, giống như $O(2^km)$ $k$ $m$ . $O(k!\,m)$

— David Eppstein
nguồn

Phiên bản derandomized nên như bình thường, ví dụ như cách họ mô tả trong phần 4, chỉ sử dụng hàm băm hoàn hảo để ánh xạ

nút thành màu

, điều này gây ra thêm yếu tố

. (cũng có thể được cải thiện để

yếu tố, phương tiện hoàn toàn là

n

$n$

k

$k$

\log^{2} n

$\log^2 n$

\log n

$\log n$

O (2^{k} \cdot m \cdot \log n)

$O(2^k \cdot m \cdot \log n)$

— Saeed

Có lẽ bạn đang tìm kiếm Marx, Pilipczuk làm việc về độ phức tạp được tham số hóa của Subgraph Isomorphism . Về mặt kỹ thuật, nó chỉ bao gồm các đồ thị vô hướng, nhưng tôi nghĩ bạn có thể điều chỉnh kết quả độ cứng cho cây dễ dàng với cây có rễ. Các kết quả tích cực có liên quan đến vấn đề của bạn đã được bao phủ bởi các câu trả lời trước đó. $H$

— Radu Curticapean
nguồn