Cách tạo đồ thị với nắp đỉnh tối ưu đã biết

Tôi đang tìm cách tạo ra các biểu đồ để biết được đỉnh đỉnh tối ưu. Không có giới hạn về số lượng nút hoặc cạnh, chỉ có điều là đồ thị được kết nối hoàn toàn.

ý tưởng là tạo ra một biểu đồ không dễ tìm thấy nắp đỉnh tối ưu, để có thể kiểm tra các phương pháp phỏng đoán khác nhau trên nó

Tôi tìm thấy bài báo Arthur, J. & Frendeway, J. Tạo ra các vấn đề về nhân viên bán hàng du lịch với các chuyến tham quan tối ưu đã biết, Tạp chí của Hiệp hội nghiên cứu hoạt động, Vol. 39, Số 2 (Tháng Hai, 1988), trang 153-159 để tạo TSP với mức tối ưu đã biết, than ôi tôi không thể truy cập nó.

Có một thuật toán được biết đến?

ds.algorithms graph-theory graph-algorithms

— AndresQ
nguồn

"Không có giới hạn về số lượng nút hoặc cạnh, chỉ có điều là đồ thị được kết nối hoàn toàn." Bạn cần nhiều hạn chế hơn thế này. Mặt khác, tôi tạo tập hợp các biểu đồ hoàn chỉnh và biết các đỉnh đỉnh tối ưu cho từng biểu đồ.

— Tyson Williams

M

$M$

e \in M

$e \in M$

C

$C$

C

$C$

C

$C$

K_{3}

$K_3$

Tôi cho rằng "tạo một biểu đồ lưỡng cực ngẫu nhiên và tính toán đỉnh của nó" không được tính là một câu trả lời hữu ích ...

— David Eppstein

có nhiều chiến lược để tạo các trường hợp SAT "cứng" và cả kho lưu trữ các trường hợp "cứng" được lưu trữ nếu bạn sẵn sàng đi theo con đường đó - tức là chuyển đổi một thể hiện của SAT sang bìa đỉnh. cũng theres nhiều nghiên cứu học SAT từ một pov thực nghiệm mà tự nhiên chuyển thành tất cả NP hoàn chỉnh các vấn đề khác ví dụ như điểm chuyển tiếp, vv nhiều refs trên tất cả những điều này ...

— vzn

Thậm chí còn hơn cả khả năng giải quyết thời gian đa thức của vỏ Vertex trên đồ thị Koning như David đã lưu ý, kết quả sau đây được biết đến từ khu vực có độ phức tạp tham số: có một hằng số c sao cho với mỗi số nguyên k cố định, có một O (n ^ c) thuật toán thời gian để kiểm tra xem đồ thị có nắp đỉnh vượt quá kích thước khớp tối đa của nó nhiều nhất là k hay không. Đồ thị Konig là trường hợp đặc biệt khi k = 0.

— Bart Jansen

Câu trả lời:

Mở rộng nhận xét của vzn thành một câu trả lời: Việc giảm tiêu chuẩn từ CNF-SAT sang bìa đỉnh là khá dễ dàng: tạo một đỉnh cho mỗi thuật ngữ (biến hoặc phủ định của nó), kết nối từng biến với phủ định của nó bằng một cạnh, tạo một cụm cho mỗi mệnh đề và kết nối từng đỉnh trong cụm với đỉnh với một trong các số hạng trong mệnh đề. Nếu bạn bắt đầu với một vấn đề thỏa đáng với một phép gán thỏa mãn đã biết, thì điều này sẽ cung cấp cho bạn một vấn đề bao trùm đỉnh với một giải pháp tối ưu đã biết (chọn các đỉnh thuật ngữ được đưa ra bởi phép gán và trong mỗi mệnh đề, hãy chọn tất cả trừ một đỉnh, sao cho mệnh đề đỉnh không được chọn nằm liền kề với một đỉnh thuật ngữ được chọn).

Vì vậy, bây giờ bạn cần tìm các vấn đề thỏa đáng có một bài tập thỏa mãn đã biết nhưng nơi giải pháp khó tìm. Có nhiều cách đã biết để tạo ra các vấn đề thỏa mãn cứng (ví dụ: tạo các trường hợp k-SAT ngẫu nhiên gần với ngưỡng thỏa mãn) nhưng yêu cầu bổ sung mà bạn biết rằng việc thực hiện thỏa mãn sẽ hạn chế các khả năng. Một điều bạn có thể làm ở đây là trải qua một mức giảm khác, từ một vấn đề khó khăn về mật mã như nhân tố hóa. Tức là chọn hai số nguyên tố lớn p và q, thiết lập mạch Boolean để nhân p và q thành số nhị phân và dịch nó thành công thức CNF trong đó có một biến cho mỗi đầu vào (p và q) và cho từng giá trị trung gian trên một dây trong mạch, một mệnh đề cho mỗi đầu ra buộc nó phải có giá trị đúng, và một mệnh đề cho mỗi cổng buộc đầu vào và đầu ra của cổng phải nhất quán với nhau. Sau đó dịch công thức CNF này sang bìa đỉnh.

Đối với chiến lược đơn giản hơn, trước tiên hãy chọn phép gán thỏa mãn cho công thức 3CNF, sau đó tạo các mệnh đề một cách ngẫu nhiên, chỉ giữ các mệnh đề phù hợp với phép gán, sau đó chuyển đổi sang bìa đỉnh. Nếu các mệnh đề có xác suất đồng nhất thì điều này sẽ dễ bị tổn thương theo phương pháp heuristic dựa trên mức độ (các đỉnh thuật ngữ phù hợp với phép gán được chọn sẽ có mức độ thấp hơn các đỉnh thuật ngữ không) nhưng có thể tránh được sự thiếu sót này bằng cách điều chỉnh xác suất của các mệnh đề theo bao nhiêu điều khoản của điều khoản đồng ý với nhiệm vụ được chọn. Có lẽ điều này dễ bị tấn công bởi một số loại tấn công thời gian đa thức nhưng nó có thể không phải là một cách tự nhiên đối với lớp phủ đỉnh, vì vậy nó có thể tạo ra một tập hợp các trường hợp thử nghiệm tốt mặc dù không có nhiều đảm bảo về độ cứng.

— David Eppstein
nguồn

\cap

$\cap$

tham chiếu gần nhất mà tôi tìm thấy là-- Trong các trường hợp khó khăn về bìa đỉnh gần đúng của Sundar Vishwanathan. đã không thấy các ref cho việc xem xét các trường hợp khó khăn của vấn đề chính xác.

như trong nhận xét của tôi, có rất nhiều nghiên cứu về cách tiếp cận tương ứng cho SAT này có thể làm giảm độ che phủ của đỉnh.

Tôi nhận xét, ý tưởng tạo ra các trường hợp ngẫu nhiên và chỉ chọn những trường hợp khó đối với thuật toán tiêu chuẩn dường như hoàn toàn hợp lý với tôi với cách tiếp cận nghiên cứu thực nghiệm / thực nghiệm [1], một quy trình vận hành tiêu chuẩn cho nghiên cứu tương tự về SAT điểm chuyển tiếp. [2]

bằng cách này, có một điều gì đó để nói rằng khu vực "cứng" dành cho bất kỳ vấn đề hoàn chỉnh NP nào khác [3,4,5] liên quan gần đến một điểm tới hạn trong "mật độ" 1s trong các trường hợp ngẫu nhiên được chỉ định trong nhị phân. đối với đỉnh đỉnh này có lẽ sẽ tương ứng với mật độ cạnh.

lưu ý rằng việc chứng minh người ta có thể xây dựng một tập hợp các trường hợp cứng và chỉ các trường hợp cứng, về cơ bản là tương đương với bài toán P vs NP. một phân tích chính thức hơn về sự tương đương này có trong bài báo Chứng minh tự nhiên Razborov / Rudich.

[1] thuật toán thực nghiệm

[2] Nghiên cứu chuyển tiếp giai đoạn SAT

[3] Chuyển pha trong các bài toán khó NP

[4] Chuyển pha trong các vấn đề hoàn thành NP: một thách thức đối với xác suất, tổ hợp và khoa học máy tính của Moore

[5] Hành vi chuyển pha của Walsh

— vzn
nguồn