Các lớp phức tạp ngữ nghĩa và cú pháp

Trong cuốn sách "Độ phức tạp tính toán" của mình, Papadimitriou viết:

RP trong một số ý nghĩa là một loại phức tạp mới và bất thường. Không phải bất kỳ máy Turing không điều kiện ràng buộc đa thức nào cũng có thể là cơ sở để xác định ngôn ngữ trong RP. Để một máy N xác định ngôn ngữ trong RP , nó phải có một đặc tính đáng chú ý là trên tất cả các đầu vào, nó sẽ từ chối nhất trí hoặc nó chấp nhận theo đa số . Hầu hết các máy không xác định hoạt động theo những cách khác đối với ít nhất một số đầu vào ... Không có cách nào dễ dàng để biết liệu một máy luôn dừng lại với đầu ra được chứng nhận. Chúng tôi gọi một cách không chính thức các lớp ngữ nghĩa như vậy , trái ngược với các lớp cú pháp như P và NP, nơi chúng ta có thể biết ngay bằng cách kiểm tra bề ngoài xem một cỗ máy được tiêu chuẩn hóa phù hợp có thực sự xác định một ngôn ngữ trong lớp hay không.

Một vài trang sau, ông chỉ ra rằng:

ngôn ngữ L nằm trong lớp PP nếu có máy Turing không giới hạn đa thức N sao cho tất cả các đầu vào x, có hơn một nửa các tính toán của N trên đầu vào x cuối cùng chấp nhận. Chúng tôi nói rằng N quyết định L theo đa số .$x \in L$

Câu 1: Tại sao Papadimitriou kết luận rằng PP là một lớp cú pháp, trong khi định nghĩa của nó chỉ khác một chút so với RP ?

Câu hỏi 2: Việc "ngữ nghĩa" cho một lớp phức tạp có tương đương với KHÔNG gặp vấn đề hoàn toàn hay thiếu vấn đề hoàn toàn được coi là một tài sản mà chúng ta HƯỚNG DẪN các lớp ngữ nghĩa sở hữu?

Chỉnh sửa: Xem chủ đề liên quan Có phải tất cả các lớp phức tạp đều có đặc tính ngôn ngữ lá?

RP liên quan đến một lời hứa, rằng 0 đường dẫn chấp nhận hoặc hơn một nửa chấp nhận, bất kể đầu vào là gì. Đối với PP, không có lời hứa như vậy. Nếu có nhiều hơn một nửa con đường chấp nhận, sau đó , nếu không, x ∉ L . (PP có thể được định nghĩa để các chuẩn mực chấp nhận là ≥ 1 / 2 và < 1 / 2 tương ứng.)$x \in L$$x \notin L$$\geq 1/2$$< 1/2$

Hay nói cách khác, nếu tôi đưa cho bạn một TM xác suất khẳng định đó là máy PP quyết định một số ngôn ngữ, bạn có thể chắc chắn rằng nó quyết định một số ngôn ngữ. Rõ ràng, ngôn ngữ mà nó quyết định là ngôn ngữ này: Hãy thử nhập . Xem nếu hơn 1/2 đường dẫn chấp nhận (hoặc hơn 1/2 chuỗi ngẫu nhiên khiến nó chấp nhận). Nếu vậy, x ∈ L . Nếu không, x ∉ L . Vì vậy, chúng tôi đã xác định một ngôn ngữ sử dụng TM này.$x$$x \in L$$x \notin L$

Mặt khác, nếu tôi đưa cho bạn một TM xác suất khẳng định đó là máy RP quyết định một số ngôn ngữ, bạn thậm chí không thể chắc chắn rằng nó quyết định bất kỳ ngôn ngữ nào. Vấn đề là khi bạn chỉ quan sát một vài con đường chấp nhận, bạn không biết liệu có ở L hay không. Vì vậy, nếu tôi đưa cho bạn một máy RP, bạn chỉ cần lấy từ của tôi cho nó. Thật vậy, kiểm tra nếu máy này xác định một ngôn ngữ là không thể tính toán được.$x$$L$

Đối với câu hỏi thứ hai của bạn, đối với các lớp cú pháp thường có một vấn đề hoàn chỉnh rõ ràng, giống như "Cho máy M, quyết định xem nó có chấp nhận kịp thời T trên đầu vào x không." Nếu bạn được cung cấp một máy không xác định, thì vấn đề này là NP hoàn chỉnh, nếu đó là máy PP, thì đó là PP hoàn chỉnh, v.v. Vấn đề hoàn toàn rõ ràng đối với các lớp ngữ nghĩa là không thể giải quyết được, như tôi đã đề cập. Vì vậy, chúng tôi không nhận được một vấn đề hoàn toàn miễn phí cho các lớp ngữ nghĩa. Nhưng một lớp ngữ nghĩa có thể có một vấn đề hoàn chỉnh. Ví dụ: nếu P = BPP (như được tin tưởng rộng rãi), thì BPP có đặc tính cú pháp.

EDIT : Vì có một số cuộc thảo luận về cách xác định các lớp ngữ nghĩa và cú pháp, tôi muốn chỉ ra rằng Papadimitriou đưa ra một định nghĩa trong cuốn sách của mình khi nói về ngôn ngữ lá. (Xem câu hỏi của tôi về ngôn ngữ lá cho một số tài liệu tham khảo.)

Ông nói rằng các lớp cú pháp là những lớp tồn tại một số ngôn ngữ xác định lớp sử dụng kỹ thuật ngôn ngữ lá. Các lớp ngữ nghĩa là những lớp mà tất cả các đặc tính như vậy đòi hỏi các vấn đề hứa hẹn. Đây là một định nghĩa nghiêm ngặt, nhưng chỉ hoạt động đối với những ngôn ngữ có đặc tính ngôn ngữ lá.

$PP$$RP$ $PP$$> 1/2$$x$

$P$$NP$$PP$$RP$$RP$$> 1/2$$RP$$Promise-RP$

$P=BPP$$P=BPP$

Nếu thực sự không có trường hợp nào đơn giản là không có danh sách máy móc có thể tính toán dễ dàng (bất kỳ loại hợp lý nào) chấp nhận chính xác lớp của bạn, thì có, tôi không nghĩ rằng lớp của bạn có thể có ngôn ngữ hoàn chỉnh. Nhưng điều đó có vẻ rất khó để chính thức hóa đúng cách, hãy để một mình chứng minh.