Sự kiện xác suất cao mà không có tọa độ xác suất thấp

Đặt là biến ngẫu nhiên lấy các giá trị trong (đối với một số bảng chữ cái lớn ), có entropy rất cao - giả sử,cho một hằng số nhỏ tùy ý . Đặt là một sự kiện trong sự hỗ trợ của sao cho , trong đó \ varepsilon là hằng số nhỏ tùy ý.$X$$\Sigma^n$$\Sigma$$H(X) \ge (n- \delta)\cdot\log|\Sigma|$$\delta$$E \subseteq \rm{Supp}(X)$$X$$\Pr[X \in E] \ge 1 - \varepsilon$$\varepsilon$

Chúng tôi nói rằng một cặp $(i,\sigma)$ là tọa độ xác suất thấp của $E$ nếu $\Pr[X \in E | X_i = \sigma] \le \varepsilon$ . Chúng tôi nói rằng một chuỗi $x \in \Sigma^n$ chứa tọa độ xác suất thấp của $E$ nếu $(i, x_i)$ là tọa độ xác suất thấp của $E$ đối với một số $i$ .

Nói chung, một số chuỗi trong $E$ có thể chứa tọa độ xác suất thấp của $E$ . Câu hỏi đặt ra là chúng ta có thể luôn tìm thấy một sự kiện xác suất cao $E' \subseteq E$ sao cho không có chuỗi nào trong $E'$ chứa tọa độ xác suất thấp của $E'$ (và không phải của $E$ ).

Cảm ơn!

Đây là một ví dụ bổ sung cho câu trả lời của Harry Yuen. Đối với một ví dụ ngược lại, nó đủ để xác định thích hợp và chỉ ra rằng bất kỳ tập hợp con lớn cũng phải có tọa độ xác suất thấp của - tọa độ xác suất thấp của nhất thiết phải là đồng xác suất thấp -Điều chỉnh của .E ' ⊆ E E E E $X,E$$E'\subseteq E$$E$$E$$E'$

Ngoài ra, tôi sẽ bỏ qua điều kiện về entropy - nối thêm biến ngẫu nhiên phân phối đồng đều độc lập vào (và đưa thành ) sẽ tăngđến gần mà không ảnh hưởng đến việc liệu như vậy có tồn tại hay không (tôi đã không thông qua điều này một cách cẩn thận).X E E × Σ N H ( X ) / ( n + N ) log | Σ | 1 E $N$$X$$E$$E\times \Sigma^N$$H(X)/(n+N)\log|\Sigma|$$1$$E'$

Đây là ví dụ. Đặt là một phần tử ngẫu nhiên của sao cho mọi vectơ có trọng số Hamming (tức là vectơ có dạng ) có xác suất và tất cả các vectơ có xác suất . Đặt là tập các vectơ có trọng số Hamming .{ 0 , 1 } n 1 0 ... 010 ... 0 ( 1 - ε ) / n 1 ... 1 ε E $X$$\{0,1\}^n$$1$$0\dots 010\dots 0$$(1-\epsilon)/n$$1\dots 1$$\epsilon$$E$$1$

Hãy xem xét một tập hợp con . Nếu không trống, nó chứa vectơ Hamming trọng số , giả sử mà không mất tính tổng quát. Nhưng , đó là ít hơn nếu là khoảng .E ' 1 100 ... 0 Pr [ X ∈ E ' | X i = 1 ] = ( 1 - ε ) /$E'\subseteq E$$E'$$1$$100\dots 0$ εn2/ε$\Pr[X \in E'|X_i=1]=\frac{(1-\epsilon)/n}{(1-\epsilon)/n + \epsilon}$$\epsilon$$n$$2/\epsilon^2$

Làm thế nào để so với ? Nếu có thể là , thì tôi nghĩ chúng ta có thể thực hiện những gì bạn muốn. Hãy . Lưu ý rằng được đưa ra khối lượng xác dưới . Đặt biểu thị khối lượng xác suất được gán cho các chuỗi trong sao cho tọa độ thứ có ký hiệu .n ε O ( 1 / $\epsilon$$n$$\epsilon$B=Supp(X)-EBεXλ(i,σ)εBi$O(1/\sqrt{n})$$B = \mbox{Supp}(X) - E$$B$$\epsilon$$X$$\lambda(i,\sigma)\epsilon$$B$$i$$\sigma$

Giả sử là một xác suất thấp phối hợp đối với một số chuỗi trong . Đặt biểu thị khối lượng xác suất được gán cho các chuỗi đó. Sau đó, theo định nghĩa, , ngụ ý rằng . Chúng ta có thể loại bỏ các chuỗi xác suất thấp này trong khi chỉ chịu tổn thất trong thăm dò. tin đại chúng để .E δ ( i , σ ) δ ( i , σ $(i,\sigma)$$E$$\delta(i,\sigma)$δ(i,σ)≤2λ(i,σ)ϵ2δ(i,σ)$\frac{\delta(i,\sigma)}{\delta(i,\sigma) + \lambda(i,\sigma)\epsilon} \leq \epsilon$$\delta(i,\sigma) \leq 2\lambda(i,\sigma)\epsilon^2$$\delta(i,\sigma)$$E$

Tiếp tục làm điều này cho tất cả các lỗi xấu có thể có và cuối cùng, chúng tôi chỉ loại bỏ tối đa . Điều này sử dụng thực tế là cho tất cả , .Σ i , σ delta ( i , σ ) ≤ Σ i Σ σ 2 λ ( i , σ ) ε 2 ≤ 2 Σ i ε 2 = 2 n ε 2 i Σ σ λ ( i , σ ) = $(i,\sigma)$$\sum_{i,\sigma} \delta(i,\sigma) \leq \sum_{i} \sum_{\sigma} 2\lambda(i,\sigma)\epsilon^2 \leq 2\sum_{i} \epsilon^2 = 2n\epsilon^2$$i$$\sum_{\sigma} \lambda(i,\sigma) = 1$

Nếu bạn muốn có khối lượng xác suất , thì cần phải sao cho hoặc đủ.$E'$$1 -\gamma$$\epsilon$$\epsilon + 2n\epsilon^2 \leq \gamma$$\epsilon = O(\gamma/\sqrt{2n})$

Hiện tại tôi không rõ liệu sự phụ thuộc vào có thể được loại bỏ hay không; Tôi sẽ tiếp tục suy nghĩ về nó.$n$