Đặc trưng của các công thức đọc một lần trên cơ sở nhị phân đầy đủ

Lý lịch

Công thức đọc một lần trên một tập hợp các cổng (còn được gọi là cơ sở) là một công thức trong đó mỗi biến đầu vào xuất hiện một lần. Các công thức đọc một lần thường được nghiên cứu trên cơ sở De Morgan (có cổng 2 bit AND và OR, và cổng 1 bit KHÔNG) và cơ sở nhị phân đầy đủ (có tất cả các cổng 2 bit).

Vì vậy, ví dụ, AND của 2 bit có thể được viết dưới dạng công thức đọc một lần trên cơ sở, nhưng tính chẵn lẻ của 2 bit không thể được viết dưới dạng công thức đọc một lần so với cơ sở De Morgan.

Tập hợp tất cả các hàm có thể được viết dưới dạng công thức đọc một lần trên cơ sở De Morgan có đặc tính tổ hợp. Xem, ví dụ, mô tả đặc trưng kết hợp các công thức đọc một lần của M. Karchmer, N. Linial, I. Newman, M. Saks, A. Wigderson.

Câu hỏi

Có một đặc tính thay thế của tập hợp các hàm có thể được tính bằng công thức đọc một lần trên cơ sở nhị phân đầy đủ không?

Câu hỏi dễ hơn (được thêm vào v2)

Mặc dù tôi vẫn quan tâm đến câu trả lời cho câu hỏi ban đầu, vì tôi chưa nhận được câu trả lời nào, tôi nghĩ tôi sẽ hỏi một câu hỏi dễ hơn: một số kỹ thuật ràng buộc thấp hơn hoạt động cho các công thức trên cơ sở nhị phân đầy đủ là gì? (Khác với những cái tôi liệt kê dưới đây.)

Lưu ý rằng bây giờ tôi đang cố gắng giảm giới hạn kích thước công thức (= số lượng lá). Đối với các công thức đọc một lần, chúng ta có kích thước công thức = số lượng đầu vào. Vì vậy, nếu bạn có thể chứng minh rằng một hàm cần một công thức có kích thước lớn hơn n, thì điều đó cũng có nghĩa là nó không thể được biểu diễn dưới dạng công thức đọc một lần.

Tôi nhận thức được các kỹ thuật sau (cùng với tài liệu tham khảo cho từng kỹ thuật từ Độ phức tạp chức năng Boolean: Advances and Frontiers của Stasys Jukna ):

Phương pháp của Nechiporuk cho các hàm phổ quát (Phần 6.2): Hiển thị kích thước thấp hơn cho một chức năng nhất định. Điều này không giúp bạn tìm giới hạn thấp hơn cho một chức năng cụ thể mà bạn có thể quan tâm mặc dù. $n^{2-o(1)}$
Định lý của Nechiporuk sử dụng các hàm con (Sec 6.5): Đây là một kỹ thuật ràng buộc thấp hơn đúng theo nghĩa là nó sẽ cung cấp giới hạn dưới cho bất kỳ chức năng nào bạn quan tâm. Hàm phân biệt phần tử có kích thước . (Và đây là giới hạn dưới lớn nhất mà kỹ thuật có thể chứng minh - cho bất kỳ chức năng nào.) $\Omega(n^2/\log n)$

— Robin Kothari
nguồn

Bạn đã xem xét các BDD, sơ đồ quyết định nhị phân chưa? arent họ khá gần trong phức tạp? nhưng, havent đã thấy một ref ref trên subj.

— vzn

-2

cũng có một phương pháp gọi là giới hạn dưới của Krapchenko "có thể lớn hơn một chút so với phương pháp Nechiporuks". xem John E Savage, Các mô hình tính toán, phần 9.4.2. (được bảo hiểm ngay sau phương pháp Nechiporuk trong phần 9.4.1)

— vzn
nguồn

Cảm ơn đã tham khảo, nhưng phương pháp của Krapchenko chỉ hoạt động trên cơ sở De Morgan (được gọi là "cơ sở tiêu chuẩn" trong cuốn sách của Savage). Câu hỏi của tôi là về cơ sở nhị phân đầy đủ.

— Robin Kothari

nếu phương pháp Nechiporuks hoạt động trên cơ sở nhị phân đầy đủ & phương pháp được hiển thị để hoạt động trên De Morgan / cơ sở tiêu chuẩn trong sách Savages, tại sao Krapchenkos không hoạt động trên cả hai? nhưng đồng ý Savage không có ví dụ về Krapchenko / cơ sở nhị phân đầy đủ.

— vzn

Cơ sở nhị phân đầy đủ là một siêu bộ của cơ sở De Morgan. Bất kỳ giới hạn thấp nào hoạt động chống lại cơ sở nhị phân đầy đủ cũng hoạt động chống lại cơ sở De Morgan.

— Robin Kothari

ok, tốt, những quy tắc ra khỏi phương pháp Krapchenko làm việc trên cơ sở nhị phân đầy đủ? Tôi nghi ngờ phương pháp Nechiporuk có lẽ được áp dụng lần đầu tiên cho cơ sở de Morgan và sau đó được mở rộng ra toàn bộ cơ sở, đúng không? Những quy tắc nào ra cho phương pháp Krapchenko?

— vzn