NP có khó không?

Hãy xem xét một tập hợp các tập hợp $F=\{F_1,F_2,\dotsc,F_n\}$ trên một bộ cơ sở $U=\{e_1,e_2,\dotsc,e_n\}$ trong đó $|F_i|$ $\ll$ $n$ và $e_i \in F_i$ và gọi $k$ là số nguyên dương.

Mục đích là để tìm thấy một bộ sưu tập các bộ $C=\{C_1,C_2,\dotsc,C_m\}$ trên $U$ như vậy mà mỗi $F_i$ có thể được viết như một sự kết hợp của ít nhất $k$ $(k<<|C|)$ lẫn nhau rời nhau thiết lập trong $C$ và chúng tôi cũng muốn $\sum_1^m |C_j|$là tối thiểu (nghĩa là tổng số phần tử trong tất cả các bộ $C$ nên càng nhỏ càng tốt).

Lưu ý rằng $F$ có cùng kích thước với $U$ , nhưng kích thước của $C$ không chắc chắn.

Bất cứ ai có thể cho biết liệu vấn đề trên là NP-hard? (thiết lập bao phủ？ đóng gói covering bao phủ hoàn hảo

Cảm ơn vì đã dành thời gian cho tôi.

Bổ đề. Vấn đề là NP-hard.

Bằng chứng phác thảo. Chúng tôi bỏ qua các ràng buộc | F i | « N = | U | trong bài toán được đăng, bởi vì, đối với bất kỳ trường hợp nào ( F , U , k ) của bài toán, thể hiện ( F ′ = F n , U ′ = U n , k ) có được bằng cách lấy liên kết của n bản sao độc lập của ( F , U , k ) (trong đó $|F_i| \ll n = |U|$$(F,U,k)$$(F'=F^n,U'=U^n,k)$$n$$(F,U,k)$$i$thứ bản sao của F sử dụng i thứ sao chép của U 2 = | U ' | ).$F$$i$$U$như bộ cơ sở của nó) là tương đương, và đáp ứng các hạn chế (nó có $|F'_i| \le n \ll n^2 = |U'|$

Chúng tôi giảm từ 3-SAT. Để trình bày, trong giai đoạn đầu tiên của việc giảm, chúng tôi bỏ qua các ràng buộc e i ∈ F i trong vấn đề được đăng. Trong giai đoạn thứ hai, chúng tôi mô tả làm thế nào để đáp ứng những hạn chế đó trong khi duy trì tính chính xác của việc giảm.$e_i \in F_i$

Giai đoạn đầu. Sửa chữa bất kỳ công thức 3-SAT φ . Giả sử WLOG rằng mỗi mệnh đề có chính xác ba chữ (mỗi mệnh đề sử dụng một biến khác nhau). Tạo ví dụ sau ( F , U , k ) của vấn đề được đăng, với k = 3 .$\phi$$(F,U,k)$$k=3$

Hãy n là số biến trong φ . Có 3 n + 1 yếu tố trong U : một yếu tố t (cho "true"), và, đối với mỗi biến x i trong φ , ba yếu tố x i , ¯ x i và f i (cho "false").$n$$\phi$$3n+1$$U$$t$$x_i$$\phi$$x_i$$\overline x_i$$f_i$

Đối với mỗi phần tử trong U có một tập singleton chứa chỉ là yếu tố trong F . Do đó, bất kỳ giải pháp C nào cũng bao gồm mỗi bộ này, đóng góp tổng kích thước của chúng$U$$F$$C$ 3 n + 1 với chi phí của C .$3n+1$$C$

Bên cạnh đó, đối với mỗi biến x i trong φ có một "biến" set { x i , ¯ x i , f i , t } trong F . Đối với mỗi điều khoản trong φ có một "khoản" đặt trong F bao gồm các literals trong mệnh đề, và t . Ví dụ, mệnh đề x 1 ∧ ¯ x 2 ∧ x 3 sản lượng tập { x 1 , ¯ x 2 , $x_i$$\phi$$\{x_i, \overline x_i, f_i, t\}$$F$$\phi$$F$$t$$x_1\wedge \overline x_2 \wedge x_3$3 , t } trong F .$\{x_1, \overline x_2, x_3, t\}$$F$

Yêu cầu 1. Việc giảm là đúng: φ là satisfiable iff một số giải pháp C có chi phí Σ j | C j | = 5 n + 1 .$\phi$$C$$\sum_j |C_j| = 5n+1$

(chỉ khi) Giả sử φ là satisfiable. Xây dựng một giải pháp C bao gồm các tập đơn 3 n + 1 , cộng với mỗi biến x i , cặp bao gồm cả nghĩa đen và t . (Ví dụ: { ¯ x i , t } nếu x i sai.) Chi phí của $\phi$$C$$3n+1$$x_i$$t$$\{\overline x_i, t\}$$x_i$$C$ là 5 n + 1 . $5n+1$

Mỗi biến bộ { x i , ¯ x i , f i , t } là sự kết hợp của ba bộ: cặp bao gồm các nghĩa đen trung thực và t , cộng với hai bộ singleton, một cho mỗi của hai yếu tố khác. (Ví dụ: { ¯ x i , t } , { x i$\{x_i, \overline x_i, f_i, t\}$$t$ , { f i } .)$\{\overline x_i, t\}, \{x_i\}, \{f_i\}$

Mỗi bộ mệnh đề (ví dụ { x 1 , ¯ x 2 , x 3 , t } ) là sự kết hợp của ba bộ: một cặp bao gồm t và một nghĩa đen thực sự, cộng với hai bộ đơn, một cho hai trong hai chữ còn lại. (Ví dụ: { x 1 , t } , { ¯ x 2 } , { x 3 } .)$\{x_1, \overline x_2, x_3, t\}$$t$$\{x_1, t\}, \{\overline x_2\}, \{x_3\}$

(nếu) Giả sử có một giải pháp C có kích thước 5 n + 1 . Giải pháp phải chứa các bộ đơn 3 n + 1 , cộng với các bộ khác có tổng kích thước 2 n .$C$$5n+1$$3n+1$$2n$

Trước tiên hãy xem xét các bộ n "biến", mỗi dạng { x i , ¯ x i , f i , t } . Tập là sự kết hợp rời nhau ít nhất ba bộ trong C . Không mất tính tổng quát, đó là sự kết hợp rời rạc của hai singletons và một cặp (nếu không, việc tách các bộ trong C đạt được điều này mà không làm tăng chi phí). Suy ra cặp P i . Các cặp P i và P j cho các biến khác nhau x i và x j là khác nhau, bởi vì$n$$\{x_i, \overline x_i, f_i, t\}$$C$$C$$P_i$$P_i$$P_j$$x_i$$x_j$P i chứa x ithì không. Do đó, tổng kích thước của các cặp này là 2 n . Vì vậy, các cặp này là các bộ không đơn lẻ trong giải pháp. $P_i$$x_i$, ¯ x i , hoặc f i nhưng P $\overline x_i$$f_i$$P_j$$2n$

Tiếp theo xem xét các "điều khoản" bộ, ví dụ như, { x i , ¯ x j , x k , t } . Mỗi bộ như vậy phải là liên kết của tối đa ba bộ trong C , nghĩa là tối đa hai bộ đơn và ít nhất một cặp P i , P j hoặc P k . Bằng cách kiểm tra các cặp và mệnh đề được đặt, nó phải là sự kết hợp của hai singletons và một cặp và cặp đó phải có dạng { x i , t } hoặc { ¯ $\{x_i, \overline x_j, x_k, t\}$$C$$P_i$$P_j$$P_k$$\{x_i, t\}$$\{\overline x_j, t\}$(một nghĩa đen và t ).$t$

Do đó, phép gán sau thỏa mãn ϕ : gán true cho từng biến x i sao cho P i = { x i , t } , gán false cho từng biến x i sao cho P i = { ¯ x i , t } và gán các biến còn lại tùy ý.$\phi$$x_i$$P_i=\{x_i, t\}$$x_i$$P_i=\{\overline x_i, t\}$

Giai đoạn 2. Ví dụ ( F , U , k = 3 ) được tạo ở trên không thỏa mãn ràng buộc e i ∈ F i đã nêu trong mô tả vấn đề. Khắc phục thiếu sót đó như sau. Sắp xếp các bộ F i và các phần tử e i trong U sao cho mỗi bộ singleton tương ứng với phần tử của nó e i . Hãy m là số điều khoản trong φ , vì vậy | F | = 1 + 4 n $(F,U,k=3)$$e_i \in F_i$$F_i$$e_i$$U$$e_i$$m$$\phi$m và | U | = 1 + 3 n .$|F|=1+4n+m$$|U|=1+3n$

Hãy ( F ' , U ' , k ' = 4 ) biểu thị các trường hợp thu được như sau. Hãy Một là một tập hợp của 2 n + 2 m yếu tố nhân tạo mới, hai cho mỗi bộ phi singleton trong F . Hãy U ' = U ∪ Một . Hãy F ' chứa các bộ singleton từ F , cộng, cho mỗi bộ phi singleton F i trong F , hai bộ F i ∪ { $(F', U', k'=4)$$A$$2n+2m$$F$$U'=U\cup A$$F'$$F$$F_i$$F$i , một ' i } và { một tôi , một ' i } , nơi một tôi và một ' i hai yếu tố trong một lựa chọn duy nhất cho F i . Bây giờ | F ′ | = | U ′ | = 1 + 5 n + 2 m và (với trật tự chính xác của F ' và U ' ) hạn chế$F_i\cup \{a_i, a_i'\}$$\{a_i,a_i'\}$$a_i$$a_i'$$A$$F_i$$|F'|=|U'|=1+5n+2m$$F'$$U'$ ' i ∈F ' i được đáp ứng cho mỗi bộ$e'_i\in F'_i$F ' i .$F'_i$

Để kết thúc, lưu ý rằng ( F ' , U ' , k ' = 4 ) có một giải pháp chi phí | Một | + 5 n + 1 iff phiên bản gốc ( F , U , k = 3 ) có giải pháp chi phí 5 n + 1 .$(F',U',k'=4)$$|A|+5n+1$$(F, U, k=3)$$5n+1$

(nếu) Với bất kỳ giải pháp C của chi phí 5 n + 1 cho ( F , U , k = 3 ) , thêm các n + m bộ { một tôi , một ' i } (một cho mỗi phi singleton F i , do đó, những phân vùng A ) đến C đưa ra lời giải cho ( F ′ , U ′ , k ′ | A |$C$$5n+1$$(F,U,k=3)$$n+m$$\{a_i, a'_i\}$$F_i$$A$$C$ = 4 ) của chi phí$(F', U', k'=4)$ c o s t ( C ) = | Một | + 5 n + 1 .$|A|+cost(C)=|A|+5n+1$

(chỉ khi) Xem xét mọi giải pháp C ′ cho ( F ′ , U ′ , k = 4 ) chi phí | Một | + 5 n + 1 . Xem xét bất kỳ cặp bộ phi singleton F i ∪ { một tôi , một ' i } và { một tôi , một ' i } trong F ' . Mỗi nhóm là liên hiệp rời rạc của tối đa 4 bộ trong $C'$$(F', U',k=4)$$|A|+5n+1$$F_i\cup\{a_i, a_i'\}$$\{a_i, a_i'\}$$F'$ ' . Theo một đối số trao đổi cục bộ, một trong các bộ này là { $C'$ tôi , một ' i } và phần còn lại không chứa một i hay một ' i --- khác thuộc tính này có thể đạt được bằng cách sửa đổi địa phương để các bộ, mà không làm tăng chi phí ... (thiếu chi tiết ở đây là lý do tại sao tôi gọi đây làbản phác thảobằng chứng). Vì vậy, việc loại bỏ { a i , a ′ i } khỏi C ′ sẽ đưa ra giải pháp C cho ( F , U $\{a_i, a_i'\}$$a_i$$a_i'$$\{a_i, a_i'\}$$C'$$C$ k = 3 ) chi phí 5 n + 1 . $(F,U,k=3)$$5n+1$$\diamond$