Loại bỏ Gaussian về mặt hành động nhóm

Loại bỏ Gaussian làm cho yếu tố quyết định tính toán thời gian đa thức ma trận. Việc giảm độ phức tạp trong tính toán định thức, hay nói cách khác là tổng các số mũ, là do sự hiện diện của các dấu hiệu tiêu cực thay thế (thiếu điều đó làm cho tính toán vĩnh viễn là tức là khó hơn vấn đề). Điều này dẫn đến một số loại đối xứng trong định thức, ví dụ trao đổi một cặp hàng hoặc cột chỉ đảo ngược các dấu hiệu. Tôi đã đọc ở đâu đó, có lẽ trong các kết nối với các thuật toán ba chiều được giới thiệu bởi Valiant, rằng việc loại bỏ Gaussian có thể được giải thích dưới dạng hành động nhóm và điều này dẫn đến các kỹ thuật chung trong việc giảm độ phức tạp.N P -$\#P\mbox{-}hard$$NP\mbox{-}C$

Ngoài ra, tôi cảm thấy rằng hầu như tất cả các nguồn giảm độ phức tạp cho bất kỳ vấn đề tính toán nào là một số loại đối xứng hiện tại. Có đúng không Chúng ta có thể chính thức hóa chặt chẽ điều này theo lý thuyết nhóm không?

Biên tập

Tôi tìm thấy tài liệu tham khảo . (pg 2, dòng cuối cùng của đoạn thứ hai). Tôi đã không hiểu đúng về bài viết, Nếu câu hỏi của tôi dựa trên sự hiểu sai về bài viết, xin vui lòng sửa cho tôi.

Trong trường hợp của yếu tố quyết định, Gaussian loại bỏ thực sự có thể được xem như tương đương với ý kiến cho rằng yếu tố quyết định có một nhóm đối xứng lớn (của một hình thức đặc biệt) và được đặc trưng bởi nhóm đối xứng (có nghĩa là bất kỳ mức độ đồng nhất khác đa thức trong n 2 biến với các đối xứng đó phải là bội số vô hướng của định thức). (Và, như @Tsuyoshi Ito chỉ ra rằng các đối xứng của vĩnh viễn dường như không giúp tính toán hiệu quả: mặc dù vĩnh viễn cũng được đặc trưng bởi các đối xứng của nó, nhóm đối xứng của nó nhỏ hơn nhiều so với định thức.)$n$$n^2$

Bạn có thể tìm thấy một bài viết về điều này - trong đó các đối xứng của định thức được sử dụng để loại bỏ Gaussian, dọc theo cách chứng minh rằng định thức được đặc trưng bởi các đối xứng của nó - trong Dự luật 3.4.3 của luận án của tôi (tự cắm không biết xấu hổ - nhưng Ngoài ra, tôi chưa bao giờ thấy nó diễn đạt hoàn toàn theo cách này trước đây và được viết đầy đủ chi tiết, như OP đã yêu cầu, mặc dù tôi chắc chắn rằng nó đã được thực hiện; Tôi rất vui nếu ai đó có tài liệu tham khảo khác).

Đối với ý tưởng rằng sự đối xứng luôn dẫn đến giảm độ phức tạp (hoặc không), ngoài những điều đã có trong các bình luận, hãy xem câu hỏi này và câu trả lời của nó.

Một điểm thú vị là trong các bài báo đầu tiên của Valiant về cái được gọi là lý thuyết phức tạp đại số của Valiant, ông đã cố gắng đưa ra quan điểm rằng một lý do xác định là quan trọng về mặt tính toán là bởi vì gần như tất cả các thuật toán hiệu quả đã biết giảm xuống đại số tuyến tính và từ đó tính toán của định thức, ví dụ thuật toán FKT để đếm các kết quả khớp trong đồ thị phẳng. Tất nhiên đây là một sự cường điệu, nhưng vẫn tiếp tục được nghiên cứu về các thuật toán ba chiều, thường giảm khi tính toán Pfaffian (một họ hàng gần của yếu tố quyết định). Chắc chắn Valiant biết đây là một sự cường điệu, nhưng đây là trích dẫn chính xác chỉ để đảm bảo rằng tôi không nói sai ( L. Valiant. Các lớp hoàn chỉnh về đại số. ACM STOC 1979 ):

Kết luận chính của chúng tôi có thể được tóm tắt đại khái như sau:

(a) Đại số tuyến tính về cơ bản là kỹ thuật nhanh duy nhất để tính toán các đa thức đa biến ở mức độ vừa phải

(b) ...

Có những trường hợp đối xứng của một vấn đề (dường như) đặc trưng cho sự phức tạp của nó. Một ví dụ rất thú vị là các vấn đề thỏa mãn ràng buộc (CSP).

Định nghĩa về CSP

$U$$\Gamma$$k$$U^k$$\{0, 1\}$$V$$\Gamma$$\phi:V \rightarrow U$

$\Gamma$$U$$\{0, 1\}$$\Gamma$$k$$U$$\{0, 1\}$

Đa hình

$\phi_1, \ldots, \phi_t$$f:U^t \rightarrow U$$\phi$$\phi(v) = f(\phi_1(v), \ldots, \phi_t(v))$$f$$t$

$f(x, y, z) = x + y + z \pmod 2$$f(x, x, y) = f(y, x, x) = y$$f$

$f(x, y) = x$

Đa hình và độ phức tạp (phỏng đoán phân đôi)

$\Gamma_1$$\Gamma_2$$\Gamma_1$$\Gamma_2$$\Gamma_2$$\Gamma_1$

Một vấn đề mở lớn trong lý thuyết phức tạp là đặc trưng cho độ cứng của CSP. Giả thuyết phân đôi của Feder và Vardi nói rằng bất kỳ CSP nào đều ở dạng P hoặc NP hoàn chỉnh. Sự phỏng đoán có thể được rút gọn thành một tuyên bố về đa hình: CSP là NP-cứng nếu và chỉ khi đa hình duy nhất mà nó thừa nhận là "kẻ độc tài" (nếu không thì nó nằm trong P). Tức là một CSP chỉ khó nếu không có cách địa phương để hình thành các giải pháp mới chính hãng từ các giải pháp cũ. Phần if (độ cứng) đã biết, nhưng phần duy nhất (thiết kế thuật toán polytime) là mở.

$U = \{0, 1\}$

Để đọc thêm về đa hình, đại số phổ quát và phỏng đoán lưỡng phân, bạn có thể xem khảo sát của Bulatov .

Đa hình và gần đúng

Tôi cũng giới thiệu một bài giảng IAS của Prasad Raghavendra nơi ông đặt kết quả của mìnhđưa ra mức độ gần đúng tối ưu của bất kỳ CSP nào giả định các phỏng đoán trò chơi duy nhất trong một khung tương tự. Ở mức độ cao, nếu tất cả các đa hình (điều này cần được khái quát hóa để xử lý các vấn đề gần đúng) của CSP gần với các nhà độc tài, người ta có thể sử dụng CSP để thiết kế một cách để kiểm tra xem một chức năng có phải là một nhà độc tài hay không là tất cả những gì bạn cần để giảm độ cứng xấp xỉ từ các trò chơi độc đáo. Điều này cho hướng cứng của kết quả của mình; hướng thuật toán là khi một CSP có tính đa hình khác xa với một nhà độc tài, người ta có thể sử dụng một nguyên tắc bất biến (khái quát hóa các định lý giới hạn trung tâm) để cho rằng thuật toán làm tròn SDP cho phép xấp xỉ tốt. Một trực giác thực sự sơ sài cho phần thuật toán: một đa hình khác xa với một nhà độc tài không ' t quan tâm nếu nó được đưa ra dưới dạng đối số (phân phối trên) các phép gán biến hoặc biến ngẫu nhiên gaussian xấp xỉ cục bộ một phân phối trên các phép gán biến. Đây là cách tương tự như hàm tổng "không quan tâm" nếu nó được đưa ra các biến ngẫu nhiên rời rạc với phương sai nhỏ hoặc gaussian rv's có cùng phương sai, theo định lý giới hạn trung tâm. Các biến ngẫu nhiên gaussian mà chúng ta cần có thể được tính toán từ sự nới lỏng SDP của vấn đề CSP. Vì vậy, chúng tôi tìm thấy một đa hình khác xa với một nhà độc tài, cung cấp cho nó các mẫu gaussian và nhận được một giải pháp tốt. nếu nó được đưa ra các biến ngẫu nhiên rời rạc với phương sai nhỏ hoặc gaussian rv's có cùng phương sai, theo định lý giới hạn trung tâm. Các biến ngẫu nhiên gaussian mà chúng ta cần có thể được tính toán từ sự nới lỏng SDP của vấn đề CSP. Vì vậy, chúng tôi tìm thấy một đa hình khác xa với một nhà độc tài, cung cấp cho nó các mẫu gaussian và nhận được một giải pháp tốt. nếu nó được đưa ra các biến ngẫu nhiên rời rạc với phương sai nhỏ hoặc gaussian rv's có cùng phương sai, theo định lý giới hạn trung tâm. Các biến ngẫu nhiên gaussian mà chúng ta cần có thể được tính toán từ sự nới lỏng SDP của vấn đề CSP. Vì vậy, chúng tôi tìm thấy một đa hình khác xa với một nhà độc tài, cung cấp cho nó các mẫu gaussian và nhận được một giải pháp tốt.