Xác minh lượng tử một chiều

Lý thuyết tính toán trạng thái cụm được thiết lập tốt cho đến nay, cho thấy rằng bất kỳ mạch BQP nào cũng có thể được sửa đổi nên nó chỉ sử dụng các cổng lượng tử qubit duy nhất, có thể được kiểm soát theo cách cổ điển, cung cấp nguồn cung cấp dồi dào của trạng thái được gọi là "trạng thái cụm" - là một đơn giản để sản xuất trạng thái ổn định.

Câu hỏi của tôi là: một khái niệm tương tự được biết đến để xác minh lượng tử - tức là người ta có thể thay thế các mạch QMA bằng các cổng 1 qubit được kiểm soát kinh điển, có thể sử dụng một số "trạng thái đặc biệt" không? Ít nhất là ban đầu, tôi không rõ tại sao trạng thái cụm thậm chí có thể hoạt động trong trường hợp này.

quantum-computing

— Lior Eldar
nguồn

Nếu tôi hiểu chính xác, vấn đề trong QMA Merlin có đưa cho bạn một bằng chứng lượng tử mà bạn phải kết hợp bằng cách nào đó vào mô hình không? Nói cách khác, nếu đó là QCMA thay vì QMA, nơi Merlin chỉ trao cho bạn một chuỗi cổ điển, thì chúng ta chỉ có thể sử dụng các kết quả đã biết cho BQP, phải không?

— Robin Kothari

Vâng đúng rồi. Cảm ơn bạn đã làm cho sự khác biệt này.

— Lior Eldar

Để bắt đầu, người ta có thể đặt câu hỏi tương tự cho BQP: Chúng ta có thể thực hiện bất kỳ tính toán lượng tử nào được cung cấp sức mạnh để thực hiện các phép đo 1 qubit và cung cấp một trạng thái cụm không tin cậy (hoặc một số trạng thái phù hợp khác) không?

— Norbert Schuch

Câu trả lời:

Có thể giới hạn trình xác minh QMA đối với các phép đo qubit đơn và tiền xử lý và hậu xử lý cổ điển (với tính ngẫu nhiên) trong khi vẫn giữ tính đầy đủ của QMA.

Để xem lý do tại sao, đi bất kỳ lớp Hamilton QMA động hoàn tất -local trên qubit. Bằng cách thêm hằng số thứ tự và định cỡ lại với hệ , Hamilton có thể được đưa vào dạng trong đó , và , trong đó là sản phẩm của Paulis. Ước tính giá trị riêng nhỏ nhất của cho đến độ chính xác vẫn là QMA-hard. $k$ $\mathrm{poly}(n)$ $1/\mathrm{poly}(n)$

H = \sum_{i} w_{i} h_{i},

$H=\sum_i w_i h_i\ ,$

w_{i} > 0

$w_i>0$

\sum_{i} w_{i} = 1

$\sum_i w_i=1$

h_{i} = \frac{1}{2} (I d \pm P_{i})

$h_i = \tfrac12(\mathrm{Id}\pm P_i)$

P_{i}

$P_i$

H

$H$

1 / p o l y (n)

$1/\mathrm{poly}(n)$

Bây giờ chúng ta có thể xây dựng một mạch chỉ sử dụng các phép đo một qubit, với trạng thái , chấp nhận với xác suất (mà bằng cách xây dựng nằm trong khoảng từ đến ) . Để kết thúc này, đầu tiên, chọn ngẫu nhiên một trong số các theo phân phối . Sau đó, đo mỗi Paulis trong , và lấy chẵn lẻ của kết quả, mà hiện nay có liên quan đến qua Mạch hiện xuất ra $|\psi\rangle$ $1-\langle\psi|H|\psi\rangle$ $0$ $1$ $i$ $w_i$ $P_i$ $\pi$ $\langle\psi|h_i|\psi\rangle$

⟨ ψ | h_{i} | ψ ⟩ = \frac{1}{2} (1 \pm (- 1)^{π}) \in {0, 1} .

$\langle\psi|h_i|\psi\rangle = \tfrac12(1\pm (-1)^\pi)\in\{0,1\}\ .$

1 - ⟨ ψ | h_{i} | ψ ⟩

$1-\langle\psi|h_i|\psi\rangle$ và do đó, đầu ra được phân phối theo .

⟨ ψ | H | ψ ⟩

$\langle\psi|H|\psi\rangle$

Đây là, nếu chúng tôi chọn một trường hợp có của vấn đề Hamilton cục bộ (hoàn thành QMA), có một trạng thái sao cho trình xác minh này sẽ chấp nhận với một số xác suất , trong khi nếu không thì bất kỳ trạng thái nào cũng sẽ bị từ chối với xác suất , với . Do đó, biến thể của QMA trong đó trình xác minh bị giới hạn ở các phép đo một qubit do đó hoàn thành QMA cho một số khoảng cách . Cuối cùng, phiên bản QMA này có thể được khuếch đại chỉ bằng các kỹ thuật khuếch đại thông thường cho QMA, điều này cuối cùng chứng minh rằng QMA hoàn toàn độc lập với khoảng cách (trong cùng phạm vi với QMA). $|\psi\rangle$ $\ge a$ $\le b$ $a-b>1/\mathrm{poly}(n)$ $1/\mathrm{poly}(n)$

— Norbert Schuch
nguồn

Bạn có thể đưa ra một lời giải thích ngắn gọn hoặc tham khảo về lý do tại sao vấn đề ước tính giá trị riêng nhỏ nhất của vẫn là QMA-hard? Cảm ơn!

H

$H$

— Henry Yuen

Chúng tôi bắt đầu từ Hamilton mà vấn đề này [lên tới ] là hoàn thành QMA, thay đổi nó thành Hamilton , trong đó và , do đó, ước tính năng lượng GS của lên đến độ chính xác vẫn còn QMA-cứng.

H^{'}

$H'$

ϵ = 1 / p o l y (n)

$\epsilon=1/\mathrm{poly}(n)$

H = x (H^{'} + y)

$H=x(H'+y)$

x = 1 / p o l y (n)

$x=1/\mathrm{poly}(n)$

y = p o l y (n)

$y=\mathrm{poly}(n)$

H

$H$

x ϵ = 1 / p o l y (n)

$x\epsilon=1/\mathrm{poly}(n)$

— Norbert Schuch

Bạn có thể luôn cho rằng là máy chiếu trên không gian rộng của Pauli Hamiltonian không?

h_{i}

$h_i$

— Henry Yuen

Chà, mỗi thuật ngữ trong Hamiltonian gốc có thể được viết dưới dạng tổng của sản phẩm Pauli ( cho ) và tiền tố của mỗi sản phẩm Pauli là .

h^{'}

$h'$

4^{k}

$4^k$

4^{k} = p o l y (n)

$4^k=\mathrm{poly}(n)$

k = O (\log (n))

$k=O(\log(n))$

P_{i}

$P_i$

t r [P_{i} h^{'}] / 2^{k} \leq ‖ h^{'} ‖_{\infty}

$\mathrm{tr}[P_ih']/2^k\le \|h'\|_\infty$

— Norbert Schuch

Giải thích của tôi về câu hỏi là bạn đang hỏi, chúng tôi có thể giả sử rằng mạch xác minh cho giao thức QMA chỉ sử dụng các phép đo một qubit không? (Ý tưởng là người hoạt động gửi cho bạn cả bằng chứng lượng tử và trạng thái cụm lượng tử cần thiết để thực hiện mạch xác minh ban đầu bằng "tính toán lượng tử một chiều.")

Tất nhiên, vấn đề là người hoạt động có thể không gửi cho bạn trạng thái cụm hợp lệ nào cả. Vì vậy, trình xác minh sẽ phải kiểm tra trạng thái nhận được để đảm bảo rằng nó thực sự là trạng thái cụm. Trình xác minh thực hiện điều này bằng cách thực hiện các phép đo qubit đơn và kiểm tra các mối tương quan thỏa mãn các kiểm tra ổn định cần thiết. Vì việc kiểm tra như vậy là phá hoại đối với trạng thái, nên cần phải có một quy trình trong đó trình xác minh được đưa ra nhiều bản sao của trạng thái, kiểm tra hầu hết chúng và sử dụng ngẫu nhiên để tính toán. Làm đa thức nhiều bản sao đủ?

Tôi không nghĩ rằng đây là một định lý đã biết. Tôi không thấy một ví dụ rõ ràng (với một phút suy nghĩ), vì vậy nó có thể tin được. Công nghệ bằng chứng được biết đến trên các trạng thái thử nghiệm có vẻ như nó đủ để kiểm tra điều này. Ví dụ, xem bài viết của Matthew McKague arXiv: 1010.1989 [quant-ph]. Nếu bạn nhận được bằng chứng làm việc, hãy gửi giấy tới QIP (hạn chót ngày 5 tháng 10)!

— Vô danh
nguồn

Có lẽ tôi đang hiểu nhầm câu hỏi này. Nếu bạn hỏi liệu bạn có thể triển khai mạch xác minh cho sự cố trong QMA bằng cách sử dụng tính toán dựa trên phép đo hay không, trong đó Merlin cung cấp lớp đầu vào và Arthur cung cấp tất cả các qubit trong trạng thái tài nguyên và vướng vào cả hai bộ qubit trước khi bắt đầu đo, sau đó Câu trả lời là tầm thường. Điều này xuất phát trực tiếp từ thực tế là bất kỳ mạch lượng tử nào cũng có thể được thực hiện dưới dạng tính toán dựa trên đo lường cho dù bạn quan tâm đến đầu vào cổ điển hay lượng tử.

Bạn sẽ nhận thấy rằng trong hầu hết các bài viết về các trang web đầu vào tính toán dựa trên đo lường thường được xác định riêng biệt với các trang web khác và đây là lý do (cụ thể là để giải quyết trường hợp đầu vào lượng tử).

— Joe Fitzsimons
nguồn

Trên thực tế tôi không rõ ràng về điểm này. Trong các bài viết về tính toán dựa trên đo lường mà tôi đã xem xét, phép biến đổi là từ bất kỳ mạch BQP nào có đầu vào cổ điển, sang mạch tính toán một chiều bắt đầu từ trạng thái cụm. Nghĩa là, nó KHÔNG được mô tả như là một phép biến đổi lấy bất kỳ mạch đơn nhất U tùy ý nào thành mạch dựa trên phép đo U_1, bất kể đầu vào là gì. Trong khi câu hỏi phức tạp mà tôi đã hỏi, hiện đã được giải quyết theo câu trả lời của Norbert, tôi vẫn muốn hiểu điểm này.

— Lior Eldar

@LiorEldar: Sau đó, bạn nên xem giấy gốc của Raussendorf và Briegel hoặc Raussendorf, Browne và Briegel. Họ xây dựng rõ ràng các mạch một cổng tại một thời điểm, cho thấy rằng mỗi mẫu đo thực hiện một cổng nhất định trên lớp đầu vào, có thể ở trạng thái tùy ý. Bạn chắc chắn có thể thực hiện các mạch tùy ý trên đầu vào tùy ý.

— Joe Fitzsimons

Lior thực sự đã ở quanh đây tại Aachen khi chúng tôi thảo luận về vấn đề này và một cách để hiểu câu hỏi dựa trên ý tưởng này: Merlin có thể cung cấp bằng chứng được xây dựng trong trạng thái cụm (không tin cậy) không, và Arthur sử dụng các phép đo một qubit của mình để xác minh cụm hoặc xác minh bằng chứng bằng MBQC? (Có lẽ người ta có thể sử dụng các ý tưởng tương tự như trong comp comp. Nơi sử dụng sửa lỗi?) Thật không may, người ta không cần ý tưởng hay này để chứng minh độ cứng QMA. ;-( Tuy nhiên, tôi tin rằng đây vẫn là một câu hỏi thú vị để hiểu nếu điều này có hiệu quả hay không và bạn sẽ là chuyên gia thể hiện điều này :-)

— Norbert Schuch

@Lior: Nếu bạn muốn sử dụng MBQC để xác minh đầu vào, tất nhiên bạn cũng cần cổng 2 qubit ngoài các phép đo một qubit (vì bạn cần vướng vào đầu vào với trạng thái cụm của bạn).

— Norbert Schuch

@Joe: BTW, câu hỏi tương tự cho BQP (chúng ta có thể chạy BQP bằng cách sử dụng các phép đo 1 qubit bằng trạng thái cụm không tin cậy) tất nhiên vẫn mở và tôi cảm thấy rằng các ý tưởng được sử dụng trong tính toán mù có thể là cách để đi .

— Norbert Schuch