Sự cố ODD NGAY CẢ DELTA

Đặt là đồ thị. Đặtlà một số nguyên. Gọi là số đồ thị con cảm ứng cạnh của có đỉnh và số cạnh lẻ. Gọi là số đồ thị con cảm ứng cạnh của có đỉnh và số cạnh chẵn. Đặt . Vấn đề ODD EVEN DELTA bao gồm tính toán , được đưa ra và . $G = ( V, E )$ $k \leq |V|$ $O_k$ $G$ $k$ $E_k$ $G$ $k$ $\Delta_k = O_k - E_k$ $\Delta_k$ $G$ $k$

Câu hỏi

Có thể tính trong thời gian đa thức không? Đó là thuật toán được biết đến nhiều nhất để tính toán nó? $\Delta_k$

Nếu là 3-thường xuyên thì sao? $G$

Nếu là lưỡng cực 3 thường xuyên thì sao? $G$

Nếu là mặt phẳng lưỡng cực 3 thường xuyên thì sao? $G$

— Giorgio Quayani
nguồn

Động lực của bạn là gì?

— Tyson Williams

@TysonWilliams: Động lực của tôi là, nếu phần 1 của câu hỏi thứ nhất có câu trả lời khẳng định (thậm chí chỉ đối với trường hợp hai mặt phẳng 3-bipartite), thì sẽ có một số hậu quả thú vị đáng được khám phá thêm. Nếu thuật toán là cấp số nhân, nó vẫn sẽ có một số hậu quả (ít thú vị hơn, nhưng dù sao cũng xứng đáng được khám phá nhiều hơn).

— Giorgio Camerani

Bạn có thể cụ thể hơn không? Bạn có ý nghĩa gì bởi "một số hậu quả thú vị"? Làm thế nào bạn gặp phải vấn đề này ở nơi đầu tiên?

— Tyson Williams

@TysonWilliams: Chúng tôi có thể tiếp tục cuộc trò chuyện này một cách riêng tư, bằng e-mail không?

— Giorgio Camerani

Câu trả lời:

Vấn đề ODD EVEN DELTA là # P-hard, ngay cả trên các đồ thị hai mặt phẳng lưỡng cực 3 thông thường.

Hãy là tập hợp các bìa đỉnh của một đồ thị nói chung . Sau đó, giả sử không có đỉnh bị cô lập, phương trình sau được giữ (tham khảo bài viết trên để chứng minh): $\mathcal{C}$ $G$ $G$

| C | = = 2^{| V |} - Σ_{k = = 2}^{| V |} Δ_{k} \cdot 2^{| V | - k}

$|\mathcal{C}| = 2^{|V|} - \sum_{k = 2}^{|V|} \Delta_k \cdot 2^{|V|-k}$

Đếm các đỉnh đỉnh là # P-hoàn thành ngay cả trên các đồ thị hai mặt phẳng 3 cực thông thường, và nó có thể được thực hiện với số lượng cuộc gọi tuyến tính đến một nhà tiên tri ODD EVEN DELTA.

— Giorgio Quayani
nguồn

CẬP NHẬT:

Tôi nên chỉ ra rằng câu trả lời dưới đây là về trường hợp đặc biệt của . Vì trường hợp này là khó, nên vấn đề cho chung cũng khó. $k = |V|$ $k$

Khung Holant về cơ bản là một tổng số mũ trên các sơ đồ con bao trùm (tức là tất cả các đỉnh đều có trong sơ đồ con, do đó tổng nằm trên các tập hợp con của các cạnh). Ngược lại, phiên bản hiện tại của câu hỏi là về các sơ đồ con cảm ứng cạnh.

$|V|$

3-Đồ thị phẳng thông thường

$G$

Pl-Holant ([1, 0, - 1] | [0, 1, 1, 1]) .

$\text{Pl-Holant}([1,0,-1]|[0,1,1,1]).$

Hãy để tôi giải thích làm thế nào. Để biết thêm chi tiết hơn tôi cung cấp dưới đây, xem bài viết này .

Holant là một phép gán tổng (Boolean) cho các cạnh. Trên các đỉnh là các ràng buộc mà đầu vào của chúng là các phép gán cho các cạnh sự cố của chúng. Đối với mỗi lần gán cho các cạnh, chúng ta lấy tích của tất cả các ràng buộc đỉnh.

Yêu cầu của bạn rằng không có các đỉnh bị cô lập là ràng buộc không được thỏa mãn tại một đỉnh cụ thể nếu không có cạnh nào của nó được chọn và được thỏa mãn nếu ít nhất một cạnh được chọn. Đây đối xứng hạn chế được biểu thị bởi [0,1,1,1], mà kết quả đầu ra 0 (tức là không hài lòng) khi số lượng đầu vào 1 là 0 (tức là không có cạnh sự cố trong đồ thị con) và đầu ra 1 (tức là thỏa mãn) khi số của đầu vào 1 là 1, 2 hoặc 3 (tức là 1, 2 hoặc 3 cạnh sự cố trong sơ đồ con).

$G$ $G$ $n$ $(-1)^n = 1$ $n$ $(-1)^n = -1$

Bài toán Holant lưỡng cực này là # P-hard theo Định lý 6.1 trong bài viết này . Tuy nhiên, định lý đó không dễ áp dụng nhất. Thay vào đó, hãy xem xét những điều sau đây.

$T = \begin{bmatrix} -1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix},$

\begin{aligned} Pl-Holant ([1, 0, - 1] | [0, 1, 1, 1]) & = Pl-Holant ([1, 0, - 1] T^{\otimes 2} | (T^{- 1})^{\otimes 3} [0, 1, 1, 1]) \\ = Pl-Holant ([1, - 1, 0] | [1, 0, 0, 1]) . \end{aligned}

$\begin{align*} \text{Pl-Holant}([1,0,-1]|[0,1,1,1]) &= \text{Pl-Holant}([1,0,-1] T^{\otimes 2}|(T^{-1})^{\otimes 3}[0,1,1,1])\\ &= \text{Pl-Holant}([1,-1,0]|[1,0,0,1]). \end{align*}$

Sau đó, dễ dàng nhận thấy rằng vấn đề này là # P-hard theo Định lý 1.1 trong bài viết này .

Giới hạn đối với đồ thị Bipartite

Giống như câu hỏi trước đây của bạn , cùng một vấn đề bị hạn chế đối với đồ thị lưỡng cực khó xử lý hơn nhiều và tôi tin rằng đây vẫn là một vấn đề mở. Chúng tôi có một phỏng đoán về các trường hợp có thể điều khiển được (và tôi sẽ kiểm tra xem liệu vấn đề của bạn có phải là một trong số đó không), nhưng tôi nghĩ vấn đề của bạn vẫn là # P-hard ngay cả khi bị giới hạn trong các biểu đồ lưỡng cực.

— Tyson Williams
nguồn

Cảm ơn bạn đã dành thời gian của bạn cho câu hỏi này và đã cung cấp một câu trả lời chi tiết như vậy. Không quen thuộc với khung Holant, tôi sẽ cần một chút thời gian để phân tích nó và chuyển hóa hoàn toàn lý luận của bạn (tất nhiên tôi không nghi ngờ gì về tính đúng đắn của nó, chỉ là tôi muốn hiểu từng bước, không chỉ là kết luận) . Đối với những gì liên quan đến hạn chế lưỡng đảng, vâng, nó sẽ thực sự tốt nếu bạn có thể kiểm tra xem các trường hợp có thể điều chỉnh của bạn có bao gồm vấn đề của tôi không.

— Giorgio Camerani