Vấn đề khó khăn cho đồ thị chi cao hơn

17

Đồ thị phẳng có chi bằng không. Đồ thị có thể nhúng trên một hình xuyến có nhiều nhất 1. Câu hỏi của tôi rất đơn giản:

Có bất kỳ vấn đề nào có thể giải quyết đa thức trên đồ thị phẳng nhưng NP-hard trên đồ thị của chi một không?
Nói chung, có bất kỳ vấn đề nào có thể giải quyết được đa thức trên các đồ thị của chi g nhưng NP-cứng trên các đồ thị của chi> g?

— Shiva Kintali
nguồn

Đối với câu hỏi thứ hai, bạn có muốn bài toán trở thành NP-hard cho đồ thị của chi> = k, trong đó k là hằng số lớn hơn g? HOẶC bạn chỉ muốn vấn đề là NP-hard cho các đồ thị có chi không nhỏ hơn g (tương đương với NP-hard cho đồ thị chung)?

— Robin Kothari

1

Tôi đang tìm kiếm các bài toán NP-Hard cho đồ thị của chi> = k, trong đó k là hằng số lớn hơn g.

— Shiva Kintali

16

Đây là công khai công việc của riêng tôi, nhưng việc vượt qua số lượng và 1 mặt phẳng có thể giải quyết được một cách tầm thường trong các đồ thị phẳng nhưng khó cho các đồ thị thuộc chi một. Xem http://arxiv.org/abs/1203.5944

— người nào
nguồn

3

"Một đồ thị là gần phẳng nếu nó có thể được lấy từ đồ thị phẳng bằng cách thêm một cạnh. Đồ thị là 1 mặt phẳng nếu nó có một hình vẽ trong đó mọi cạnh được cắt ngang qua nhiều nhất một cạnh khác. Chúng tôi chỉ ra rằng đó là NP -để quyết định xem một đồ thị gần phẳng nhất định có phải là 1 mặt phẳng hay không. " Chắc chắn là tôi đang thiếu gì đó. Tại sao mọi đồ thị gần phẳng cũng là 1 mặt phẳng?

— Tyson Williams

4

G - e

$G-e$

e

$e$

e

$e$

e

$e$

4

Nếu vấn đề đồ chơi là tốt:

$g\in\mathbb{N}$ $H$ $g+1$ $\phi$ $G_\phi$ $\phi$ $H$

$G_\phi$ $g+1$ $\phi$ $\leq g$

— Radu Curticapean
nguồn

2

\leq g

$\leq g$

1

G_{ϕ}

$G_\phi$

g + 1

$g+1$

g

$g$

ah, nó trở nên thực sự tầm thường, tôi thấy

— Sasho Nikolov

2

$G$ $g$ $T=poly(n) + 2^{2g} O(m^3)$ $m$ $G$

Cai, Lu và Xia gần đây đã chứng minh sự phân đôi sau đây cho các vấn đề đếm #CSP:

Chúng tôi chứng minh các định lý phân đôi phức tạp trong khuôn khổ đếm các vấn đề CSP. Các hàm ràng buộc cục bộ lấy các đầu vào Boolean và có thể là các hàm đối xứng có giá trị thực tùy ý. Chúng tôi chứng minh rằng, mọi vấn đề trong lớp này thuộc về chính xác ba loại:

(1) những biểu đồ có thể điều chỉnh được (ví dụ, tính toán thời gian đa thức) trên các biểu đồ chung hoặc
(2) những biểu đồ # P-hard trên biểu đồ chung nhưng có thể điều chỉnh được trên biểu đồ phẳng hoặc
(3) những biểu đồ # P-hard trên đồ thị phẳng.

Các tiêu chí phân loại là rõ ràng.

— Martin Schwarz
nguồn

2

Điều này không trả lời câu hỏi. Có thể phân loại (2) thành (2a) cho các biểu đồ phẳng nhưng # P-hard cho các đồ thị hình xuyến và (2b) có thể điều chỉnh được cho các đồ thị có giới hạn nhưng # P-hard cho các đồ thị không có liên kết?

— Jeffε

3

Trường hợp (2) bao gồm các vấn đề có thể được giảm xuống để đếm các kết hợp hoàn hảo trong đồ thị phẳng bằng cách giới thiệu các tiện ích phẳng cục bộ. Người ta cũng biết rằng các kết hợp hoàn hảo có thể được tính trong thời gian đa thức trên các biểu đồ giới hạn. Do đó, tất cả các vấn đề trong trường hợp (2) thực sự có thể điều chỉnh được trên các biểu đồ giới hạn.

— Radu Curticapean

2

$g$ $g$ $X_g$ $g$ $g$ $g$ $X_g$ $g$

$\mathcal C$ $\mathcal C$

— David Richerby
nguồn