Quy tắc đóng cho các loại quy nạp với không gian chức năng

9

Functors xây dựng từ các sản phẩm hữu hạn và số tiền phải đóng cửa thứ $\omega$ , chi tiết độc đáo trong bản thảo này bởi Francois Metayer. tức là chúng ta có thể đạt được loại quy nạp $nat := \mu X. 1 + X$ bằng cách lặp functor $1 + X$ , đạt đến điểm cố định sau $\omega$ lần lặp.

Nhưng một khi chúng ta cho phép lũy thừa liên tục, chẳng hạn như trong $\mu X. 1 + X + (nat \rightarrow X)$ , sau đó $\omega$ là không đủ.

Tôi đang tìm kiếm kết quả bao gồm lũy thừa. Những loại chức nào là đủ?

Đặc biệt đánh giá cao sẽ là một tài liệu tham khảo mà quà một bằng chứng cho thấy functors đó là $\alpha$ -continuous đối với một số thứ tự $\alpha$ như trong bản thảo trên.

lo.logic type-theory ct.category-theory

— Hang động Andrew
nguồn

5

Câu trả lời cho câu hỏi của bạn phụ thuộc vào một số điều, trong đó quan trọng nhất là kích thước của các không gian chức năng của bạn . Tôi sẽ giải thích. Xác định Như bạn đã lưu ý trong câu trả lời của mình, mỗi có thể được coi là nội bộ là hồng y thông thường thứ trong hệ thống của bạn. Trong lý thuyết tập hợp, kiểu dữ liệu này có thể được biểu diễn bằng một số thứ tự thực tế và rất lớn.

{Ôi}_{0} = = n một t

$O_0 = nat$

{Ôi}_{n + 1} = = μ X . 1 + X + ({Ôi}_{n} \to X)

$O_{n+1} = \mu X.\ 1+X+(O_n\rightarrow X)$

O_{n}

$O_n$

n

$n$

Tuy nhiên, các cấu trúc như vậy có thể được thêm vào một số phiên bản của lý thuyết loại, và câu hỏi trở thành: thứ tự nào là cần thiết để đưa ra một giải thích lý thuyết tập hợp cho cấu trúc này? Bây giờ nếu chúng ta hạn chế mình để xây dựng ngữ nghĩa, một ý tưởng tự nhiên là cố gắng giải thích với từng loại bởi tập các "realizers" thuộc loại này, mà là một tập hợp con của tập hợp các -terms, hoặc tương đương, các số tự nhiên . $\lambda$ $\mathbb{N}$

Trong trường hợp này, thật dễ dàng để chỉ ra rằng thứ tự có thể đếm được cho bất kỳ , nhưng thứ tự này phát triển rất nhanh. Làm thế nào nhanh chóng? Một lần nữa, điều này phụ thuộc vào lượng tự do bạn có khi cố gắng xây dựng các chức năng. Lý thuyết để xây dựng các chức năng như vậy được mô tả trong lý thuyết về các số lượng lớn có thể đếm được, trong đó Wikipedia có rất nhiều điều đáng ngạc nhiên. Nói chung, rất dễ để chỉ ra rằng các số thứ tự trong câu hỏi nhỏ hơn Church-Kleene Ordinal , trừ khi bạn cho phép các phương tiện xây dựng không có tính xây dựng (giả sử tính số hải ly bận rộn cho máy móc với $O_n$ $Beaver(n)$ $n$ Những trạng thái).

Mặc dù vậy, điều này không nói nhiều, ngoại trừ trong một lý thuyết mang tính xây dựng, bạn chỉ yêu cầu các quy tắc xây dựng để xây dựng các diễn giải. Có một chút nữa để nói mặc dù. Thứ nhất, có một bài thuyết trình rất đẹp bởi Thierry Coquand rằng các chi tiết đó trong sự vắng mặt của một eliminator cho tất cả các loại khác, nhưng $nat$ , bạn có thể xây dựng trong chính xác bước. $O_1$ $\epsilon_0$

Nhìn chung, dường như có một sự tương ứng giữa sức mạnh logic của một lý thuyết loại và kích thước của thứ tự lớn nhất mà nó có thể đại diện theo cách này. Sự tương ứng này là chủ đề của Phân tích Thông thường , đã được nghiên cứu rất lâu kể từ cuối những năm sáu mươi, và vẫn còn được nghiên cứu cho đến ngày nay (với một số câu hỏi mở tuyệt vời). Cảnh báo mặc dù: vấn đề là kỹ thuật như nó là hấp dẫn.

Hi vọng điêu nay co ich.

— cody
nguồn

4

Tôi nghĩ rằng tôi đã tìm thấy một câu trả lời hoạt động trong các danh mục đủ như Set. Đó là định lý 3.1.12 trong các đại số ban đầu và các than cuối cùng: một khảo sát của Adamek, Milius và Moss.

Câu trả lời là không một thứ tự nào là đủ cho tất cả các chức năng như vậy. Họ nhận được lớn tùy ý.

Chính xác hơn, với $F(X) = C_0\times(A_0 \rightarrow X) + C_1\times(A_1 \rightarrow X)\;+\;...\;+\; C_n\times(A_n \rightarrow X)$ $A_i$ $\alpha$ $\beta < \alpha$ $\beta$ $\alpha$ $\alpha$ $\alpha$

$\alpha$ $\alpha$ $\alpha$

$f : A_k \rightarrow F^\alpha(0)$ $f : A_k \rightarrow \bigcup_{i<\alpha} F^i(0)$ $A_k \rightarrow F^j(0)$ $j := \mathrm{sup}_{(a:A_k)} \text{``the i such that }f(a) \text{ fits into } F^i(0)"$ $j < \alpha$ $\alpha$ $|A_k| < \alpha$

$(A_k \rightarrow \bigcup_{i<\alpha}F^i(0)) \subseteq \bigcup_{j<\alpha} (A_k \rightarrow F^j(0))$ $k$

$+$ $\times$ $F(F^\alpha(0)) \subseteq \bigcup_{j<\alpha}F(F^j(0)) = \bigcup_{j<\alpha}F^j(0) = F^\alpha(0)$ $\alpha$

$A_k$

— Hang động Andrew
nguồn