Một mạch điện tử lượng tử đơn điệu

Trong độ phức tạp tính toán, có một sự khác biệt quan trọng giữa tính toán đơn điệu và tính toán chung và một định lý nổi tiếng của Razborov khẳng định rằng 3-SAT và thậm chí MATCHING không phải là đa thức trong mô hình mạch Boolean đơn điệu.

Câu hỏi của tôi rất đơn giản: Có một tương tự lượng tử cho các mạch đơn điệu (hoặc nhiều hơn một) không? Có một định lý Razborov lượng tử?

Bạn thực sự đang hỏi hai câu hỏi khác nhau và hy vọng rằng có một câu trả lời duy nhất trả lời cả hai: (1) Những khái niệm tự nhiên nào về mạch đơn điệu lượng tử đang có? (2) Kết quả lượng tử theo kiểu mạng lưới Razborov sẽ trông như thế nào?

Không rõ ràng làm thế nào để đạt được cả hai cùng một lúc, vì vậy tôi sẽ mô tả những gì với tôi dường như là một khái niệm hợp lý về các mạch đơn điệu lượng tử (mà không cho biết liệu có kết quả Razborov tương ứng hay không) và một khái niệm hoàn toàn khác về một phỏng đoán lượng tử "tự nhiên" của Razborov sẽ trông như thế nào (mà không cho biết liệu nó có đúng hay không).

Những gì chúng ta muốn từ lượng tử

Như tôi nhận xét trong các bình luận, tôi nghĩ rằng không cần thiết phải cố gắng ép khái niệm mạch đơn điệu vào một khuôn mẫu của sự bất công. Cho dù đó là trong thực tế là quá trình tiến hóa theo thời gian không cần giữ gìn cơ sở tiêu chuẩn, hoặc trong thực tế là có tồn tại nhiều căn cứ đo lường trong đó các kết quả có thể được vướng, tôi nghĩ rằng sine qua non tính toán lượng tử là một thực tế rằng cơ sở tiêu chuẩn không phải là cơ sở duy nhất. Ngay cả trong số các trạng thái sản phẩm, nó nằm trong một số triển khai được xác định chỉ bằng một lựa chọn khung tham chiếu.

Những gì chúng ta phải làm là xem xét mọi thứ theo cách loại bỏ cơ sở tiêu chuẩn khỏi nơi kín đáo truyền thống của nó - hoặc, trong trường hợp này, càng nhiều càng tốt trong khi vẫn giữ một khái niệm có ý nghĩa về sự đơn điệu.

Một mô hình đơn giản của các mạch đơn điệu lượng tử

Hãy xem xét một mô hình mạch tiềm ẩn trong nhận xét của Tsuyoshi Ito về "các kênh lượng tử đơn điệu" (và đó là điều gần như người ta phải làm nếu muốn có một khái niệm "một mạch" không bị hạn chế đối với sự tiến hóa đơn nhất).

Đặt là không gian của các toán tử Hermiti trên (để nó chứa tất cả các toán tử mật độ trên một qubit). Làm sao chúng ta có thể định nghĩa một cổng lượng tử đơn điệu từ hai đầu vào qubit để sản lượng qubit , theo một cách như vậy mà nó không phải là một cách hiệu quả một cổ điển cổng đơn điệu? Tôi nghĩ thật đơn giản để nói rằng đầu ra không nên bị giới hạn ởhoặchoặc hỗn hợp của chúng; Nếu đó là "đơn điệu", chúng ta nên yêu cầu đó là và C 2 G : H một ⊗ H b → H$\mathbf H$$\mathbb C^2$$\mathsf G: \mathbf H_a \otimes \mathbf H_b \to \mathbf H_c$c | 0 $a,b$$c$| 1 $|0\rangle\!\langle 0|$⟨ 1 $|1\rangle\!\langle 1|$⟨ 1 $\langle 1 | \,\mathop{\mathrm{Tr}_a}\bigl(\rho_{ab}\bigr) |1\rangle$⟨1| G(ρ một b )| 1⟩$\langle 1 | \,\mathop{\mathrm{Tr}_b}\bigl(\rho_{ab}\bigr) |1\rangle$ tăng, giá trị của phải không giảm. Đối với cổng hai đầu vào-qubit, điều này có nghĩa là phải được thực thi theo nguyên tắc như$\langle 1 | \mathsf G(\rho_{ab}) | 1 \rangle$$\mathsf G$

1. thực hiện phép đo hai qubit đối với một số cơ sở trực giao , trong đó mở rộng không gian con của Hamming trọng lượng 1 và| L ⟩ , | v $\{ |00\rangle, |\mu\rangle, |\nu\rangle, |11\rangle \}$$|\mu\rangle,|\nu\rangle$

2. sản xuất như một số trạng thái tương ứng với kết quả mà nó đo được, trong đó cho mỗi .⟨ 1 | ρ 00 | 1 ⟩ ⩽ ⟨ 1 | ρ λ | 1 ⟩ ⩽ ⟨ 1 | ρ 11 | 1 ⟩ bước sóng ∈ { μ , ν $\rho \in \{ \rho_{00}, \rho_\mu, \rho_\nu, \rho_{11} \}$$\langle 1 | \rho_{00} | 1 \rangle \leqslant \langle 1 | \rho_\lambda | 1 \rangle \leqslant \langle 1 | \rho_{11} | 1 \rangle$$\lambda \in \{ \mu, \nu \}$

Các mạch chỉ là thành phần của những điều này theo cách hợp lý. Chúng tôi cũng có thể cho phép ra quạt, dưới dạng các mạch được nhúng một cách không thực tế và ; ít nhất chúng ta nên cho phép các bản đồ này ở đầu vào, để cho phép mỗi bit đầu vào (danh nghĩa cổ điển) được sao chép.| 1 ⟩ ↦ | 11 ⋯ 1 $|0\rangle \mapsto |00\cdots 0\rangle$$|1\rangle \mapsto |11\cdots 1\rangle$

Có vẻ hợp lý hoặc xem xét toàn bộ tính liên tục của các cổng như vậy hoặc để hạn chế một số bộ sưu tập hữu hạn của các cổng đó. Bất kỳ lựa chọn nào cũng dẫn đến một "cơ sở cổng đơn lượng tử" khác nhau cho các mạch; người ta có thể xem xét những tính chất cơ sở đơn điệu khác nhau có. Các trạng thái có thể được chọn hoàn toàn độc lập, chịu sự ràng buộc của tính đơn điệu; chắc chắn sẽ rất thú vị (và có lẽ là thực tế đối với lỗi bị ràng buộc) để đặtvà, mặc dù tôi thấy không có lý do để yêu cầu điều này trong lý thuyết. Rõ ràng AND và OR là các cổng thuộc loại này, trong đóvà$\rho_{00}, \rho_\mu, \rho_\nu, \rho_{11}$$\rho_{00} = |0\rangle\!\langle 0|$$\rho_{11} = |1\rangle\!\langle 1|$$\rho_\mu = \rho_\nu = |0\rangle\!\langle 0|$| L $\rho_\mu = \rho_\nu = |1\rangle\!\langle 1|$tương ứng, bất cứ điều gì người ta chọn hoặc là.$|\mu\rangle$$|\nu\rangle$

Đối với bất kỳ k hằng số , người ta cũng có thể xem xét các cơ sở cổng bao gồm các cổng k -input-one-output. Cách tiếp cận đơn giản nhất trong trường hợp này có lẽ là cho phép các cổng có thể được thực hiện như trên, cho phép mọi phân tách không gian con của mỗi trọng lượng Hamming và để yêu cầu cho mỗi$\mathsf G: \mathbf H^{\otimes k} \to \mathbf H$$\mathcal V_w \leqslant \mathcal H_2^{\otimes k}$$0 \leqslant w \leqslant k$0 ⩽ w <

$$\max_{|\psi\rangle \in \mathcal V_w}\;\langle 1 | \,\mathsf G\Bigl( |\psi\rangle\!\langle\psi| \Bigr)\, |1\rangle \;\;\leqslant\;\; \min_{|\psi\rangle \in \mathcal V_{w+1}}\;\langle 1 | \,\mathsf G\Bigl( |\psi\rangle\!\langle\psi| \Bigr)\, |1\rangle$$ $0 \leqslant w < k$ . Không rõ sức mạnh tính toán bổ sung này sẽ cung cấp cho bạn bao nhiêu (thậm chí trong trường hợp cổ điển).

Tôi không biết liệu có điều gì thú vị để nói về các mạch như vậy ngoài trường hợp cổ điển hay không, nhưng dường như đây là định nghĩa ứng cử viên hứa hẹn nhất về "mạch đơn điệu lượng tử".

Một biến thể lượng tử của kết quả của Razborov

Hãy xem xét sự trình bày của Tim Gowers về kết quả của Alon & Boppana (1987), Combinatorica 7 tr. 12222 nhằm củng cố kết quả của Razborov (và làm rõ một số kỹ thuật của anh ta) cho sự phức tạp đơn điệu của CLIQUE. Gowers trình bày điều này theo cách xây dựng đệ quy của một họ các tập hợp, nhìn chằm chằm vào "nửa không gian" của khối boolean cho mỗi . Nếu chúng tôi loại bỏ vị trí được bảo mật của cơ sở tiêu chuẩn trong các bộ cơ sở, tương tự như Bổ đề cục bộ Lượng tử Lovász , chúng tôi có thể xem xét một không gian con của 1 ⩽ j ⩽ n H ⊗ n 2 n A j ⩽ H ⊗ n 2 A j = U j E

$$E_j = \Bigl\{ \mathbf x \in \{0,1\}^n \;:\; x_j = 1 \Bigr\}$$ $1 \leqslant j \leqslant n$$\mathcal H_2^{\otimes n}$để tương ứng với một mệnh đề nhị phân (cho dù một trạng thái thuộc về không gian con, hay thay vào đó là trực giao với nó) có thể phát sinh từ phép đo. Chẳng hạn, chúng tôi có thể xem xét không gian con được cung cấp bởi Chúng tôi cho phép các phép tương tự logic lượng tử kết hợp và phân tách các không gian con: $n$$\mathcal A_j \leqslant \mathcal H_2^{\otimes n}$A ∧ B = A ∩ B ; A ∨ B = A + B = { a + $$\begin{align*} \mathcal A_j = U_j \mathcal E_j \;, & \text{ for each $1 \leqslant j \leqslant n$} \\ \text{where } &\mathcal E_j := \Bigl\{ | \mathbf x \rangle \;:\; \mathbf x \in E_j \Bigr\} ; \\ &U_j : \mathcal H_2^{\otimes n} \to \mathcal H_2^{\otimes n} \text{ a unitary of bounded complexity}. \end{align*}$$ CΠCCΠK(r)r‖ΠC-ΠK(r)‖∞ $$\begin{gather*} \mathcal A \wedge \mathcal B = \mathcal A \cap \mathcal B ; \\ \mathcal A \vee \mathcal B = \mathcal A + \mathcal B = \Bigl\{ \mathbf a + \mathbf b \,:\, \mathbf a \in \mathcal A\;,\; \mathbf b \in \mathcal B \Bigr\} . \end{gather*}$$ Sau đó, chúng tôi hỏi thời gian xây dựng các liên kết và phân tách không gian được yêu cầu để có được một không gian , sao cho máy chiếu lên chỉ khác một chút so với máy chiếu lên không gian được kéo dài bởi các hàm chỉ thị của đồ thị có các kích thước ; chẳng hạn, sao cho$C$$\Pi_C$$C$$\Pi_{K(r)}$$r$$\| \Pi_C - \Pi_{K(r)} \|_\infty <\; 1/\mathrm{poly}(n)$. Phần đơn điệu có liên quan đến các phép toán logic lượng tử và các mệnh đề nguyên thủy về đầu vào cũng là lượng tử.

Trong trường hợp chung, có một vấn đề đối với việc coi đây là một vấn đề tính toán: sự khác biệt không tương ứng với bất kỳ kiến ​​thức nào có thể thu được một cách chắc chắn bằng các phép đo trên số lượng bản sao hữu hạn sử dụng phép đo hộp đen cho và một mình, trừ khi chúng là hình ảnh của máy chiếu đi lại. Vấn đề chung này vẫn có thể được coi là một kết quả thú vị về độ phức tạp hình học-tổ hợp, và có thể làm phát sinh kết quả liên quan đến Hamiltionian địa phương thất vọng. Tuy nhiên, có thể tự nhiên hơn khi chỉ yêu cầu không gian conB A j U $\mathcal A$$\mathcal B$$\mathcal A_j$phát sinh từ các máy chiếu đi lại, trong trường hợp đó, sự phân tách chỉ là HOẶC cổ điển của kết quả đo của các máy chiếu đó. Sau đó, chúng tôi có thể yêu cầu tất cả các đều giống nhau và điều này trở thành vấn đề về một mạch đơn nhất (dẫn đến "các sự kiện nguyên thủy") với xử lý hậu cổ điển đơn điệu (thực hiện các hoạt động logic trên các sự kiện đó).$U_j$

Cũng lưu ý rằng nếu chúng tôi không áp đặt bất kỳ hạn chế nào nữa đối với khoảng trắng , thì đó có thể là một không gian con có độ chồng chéo rất cao với một số khoảng trắng kéo dài bởi các trạng thái cơ sở tiêu chuẩn , đó là những chuỗi nhị phân trong đó .E ⊥ k x ∈ ˉ E k x k =$\mathcal A_j$$\mathcal E_k^\bot$$\mathbf x \in \bar E_k$$x_k = 0$

• Nếu khả năng này khiến bạn , bạn luôn có thể yêu cầu có góc tách khỏi mọi của ít nhất (sao cho các không gian con nguyên thủy của chúng ta, tệ nhất là, không thiên vị từ các không gian con trong đó một trong các bit được đặt thành 1).E ⊥ k$\mathcal A_j$$\mathcal E_k^\bot$$\frac{\pi}{2} - 1/\mathrm{poly}(n)$

• Nếu chúng ta không áp đặt một hạn chế như vậy, thì đối với tôi, việc thừa nhận các không gian con có độ chồng chéo cao với sẽ là một trở ngại đối với xấp xỉ CLIQUE (r); hoặc là chúng ta sẽ ít nhiều bị hạn chế trong việc xem xét sự vắng mặt của một cạnh cụ thể (chứ không phải là sự hiện diện của nó), hoặc chúng ta sẽ buộc phải bỏ qua một trong các cạnh hoàn toàn. Vì vậy, tôi không thấy nó cực kỳ quan trọng để áp đặt bất kỳ hạn chế nào đối với , ngoại trừ có thể tất cả chúng đều là hình ảnh của một bộ máy chiếu đi lại, nếu mục tiêu của một người là xem xét cách "đánh giá đơn điệu CLIITE từ các đề xuất lượng tử đơn giản ". Tệ nhất, nó sẽ có giá trị kinh điển khi cho phép KHÔNG cổng ở đầu vào (và có tất cả các fan-out xảy ra sau khi phủ định). A$\mathcal E_k^\bot$$\mathcal A_j$

Một lần nữa, tôi không rõ liệu việc thay thế các bộ cơ sở bằng các không gian con tùy ý của làm phát sinh một vấn đề thú vị hơn là chỉ sử dụng các không gian con ; mặc dù nếu chúng ta giới hạn trong trường hợp các công thức CNF (trong trường hợp đi lại hoặc không đi lại), kết quả chúng ta thu được sẽ tương ứng với một số khái niệm về sự phức tạp của một Hamiltonian không có sự thất vọng bao gồm cơ sở tiêu chuẩn các quốc gia đại diện cho các bè phái. E$\mathcal H_2^{\otimes n}$$\mathcal E_j$

Bằng chứng là các ý kiến ​​từ Robin và Tsuyoshi, khái niệm về các mạch đơn điệu dường như có thể dễ dàng mở rộng thành các mạch lượng tử.

Để có một định nghĩa có ý nghĩa về mạch đơn lượng tử, chúng ta cần chọn một thứ tự trên các trạng thái lượng tử liên quan đến tính đơn điệu được xác định. Về mặt kinh điển, một lựa chọn hợp lý (và một lựa chọn dẫn đến khái niệm bình thường về các mạch đơn điệu), là trọng số Hamming, nhưng hãy xem xét một thứ tự được đưa ra bởi một hàm tùy ý .$f$

Vì sự phát triển của một hệ lượng tử khép kín là đơn nhất (mà chúng ta có thể giả sử được đưa ra bởi ), nên với mọi trạng thái sao cho tồn tại trạng thái thay thế sao cho nhưng với , và do đó sự tiến hóa không đơn điệu.| ψ ⟩ f $U$$|\psi\rangle$$f(U|\psi\rangle)>f(|\psi\rangle)$$|\phi\rangle$$f(|\phi\rangle) > f(|\psi\rangle)$$f(U|\psi\rangle)>f(U|\phi\rangle)$$U$

Do đó, các mạch duy nhất là đơn điệu đối với là các mạch mà cho tất cả . Do đó, bất kỳ cổng nào đơn điệu đối với đều bao gồm các cổng đi lại với .f ( U | ψ ⟩ ) = f ( | ψ ⟩ ) | ψ ⟩ f $f$$f(U|\psi\rangle)=f(|\psi\rangle)$$|\psi\rangle$$f$$f$

Rõ ràng, các bộ cổng có thể đáp ứng điều này phụ thuộc vào định nghĩa của . Nếu là hằng số, thì tất cả các bộ cổng đều đơn điệu đối với nó. Tuy nhiên, nếu chúng ta chọn là trọng số Hamming của các trạng thái trong cơ sở tính toán (phần mở rộng hơi tự nhiên của được sử dụng trong trường hợp cổ điển), chúng ta sẽ có được một cấu trúc thú vị. Hạn chế áp đặt yêu cầu trọng lượng Hamming không thay đổi. Các hoạt động bảo toàn số tiền này cho các hoạt động chéo hoặc SWAP một phần hoặc kết hợp các hoạt động này. Cấu trúc này xuất hiện khá thường xuyên trong vật lý (trong các mô hình liên kết chặt chẽ, v.v.), và tương tự như vấn đề tán xạ Boson được nghiên cứu bởi Aaronson và Arkhipovf f $f$$f$$f$$f$, mặc dù không giống nhau (đó là một vấn đề tán xạ hơi khác nhau). Hơn nữa, nó chứa các mạch cho IQP , và do đó không thể mô phỏng một cách hiệu quả theo cách cổ điển.

về cơ bản, bạn hỏi hai câu hỏi về độ khó phân kỳ rộng rãi, ở biên giới của hai trường lớn, tức là mạch boolean & điện toán QM, về khả năng đôi khi được gọi là "định lý cầu nối" trong toán học:

• tương tự lượng tử của các mạch đơn điệu

• tương tự lượng tử của Razborovs thm

câu trả lời thẳng thắn là không hoặc không cho đến nay .

đối với (1), không phải là một câu hỏi khó, nhưng dường như hiếm khi được xem xét, đã đưa ra tài liệu tham khảo sau đây có thể được coi là một trường hợp liên quan trong tài liệu.

Độ cứng gần đúng cho các vấn đề lượng tử của Gharibian và Kempe

họ xem xét một số vấn đề "đơn điệu" trong bối cảnh lượng tử, ví dụ QMSA, "Nhiệm vụ thỏa mãn tối thiểu đơn điệu lượng tử, QMSA", tức là tương tự SAT QM; (cũng là một vấn đề khác Trọng lượng tối thiểu từ đơn lượng tử, QMW) và hiển thị một số kết quả độ cứng gần đúng, tức là giới hạn thấp hơn. họ không xem xét các mạch lượng tử đơn điệu mỗi se nhưng một ý tưởng có thể là mạch lượng tử hoặc thuật toán giải quyết hàm đơn điệu QMSA có thể được coi là một QM tương tự.

đối với (2) nó sẽ là một kết quả rất tiên tiến nếu nó tồn tại mà dường như nó không "cho đến nay". Razborov của thm về cơ bản là một kết quả loại "nút cổ chai" ràng buộc thấp hơn được coi là một kết quả đột phá khác biệt và gần như không có đối thủ trong lý thuyết mạch (đơn điệu).

Vì vậy, đại khái là có tất nhiên có một số nút thắt ràng buộc thấp hơn được tìm thấy trong điện toán QM, ví dụ liên quan đến các định lý sản phẩm trực tiếp, cho một cuộc khảo sát xem ví dụ

Thuật toán lượng tử, giới hạn dưới và sự đánh đổi không gian thời gian của Spalek

tuy nhiên, có thể cho rằng một máy tính QM tương tự tốt hơn bị ràng buộc thấp hơn sẽ đặt giới hạn thấp hơn về số lượng hoạt động qubit hoặc có thể dựa trên các cổng "hoàn chỉnh" như cổng Toffoli cho chức năng đơn điệu. tôi không nhận thức được bằng chứng của loại này.

một cách tiếp cận khác có thể giới hạn việc phân tích thành các cổng AND và OR lượng tử đặc biệt có thêm các bit "ancilla" được thêm vào để làm cho các cổng có thể đảo ngược.