Ở mức độ nào một thuật toán có thể dự đoán độ phức tạp thời gian của một chương trình đầu vào tùy ý?

Các vấn đề ngăn chặn khẳng định rằng nó là không thể để viết một chương trình mà có thể xác định nếu một tạm dừng chương trình, cho tất cả các chương trình đầu vào càng tốt .

Tuy nhiên, tôi chắc chắn có thể viết một chương trình có thể tính thời gian chạy của một chương trình như:

for(i=0; i<N; i++)
    { x = 1; }

và trả về độ phức tạp thời gian của , mà không bao giờ chạy nó.$N$

Đối với tất cả các chương trình đầu vào khác, nó sẽ trả về một cờ cho biết nó không thể xác định độ phức tạp thời gian.

Câu hỏi của tôi là:

Những điều kiện phải giữ, sao cho chúng ta có thể xác định một cách thuật toán độ phức tạp thời gian của một chương trình nhất định?

* Nếu có một tài liệu tham khảo chính thức hoặc bài viết đánh giá về điều này, tôi sẽ đánh giá cao một liên kết đến nó trong các ý kiến.

Nói chung, bạn không thể xác định độ phức tạp, ngay cả đối với các chương trình tạm dừng: hãy để là một số máy Turing tùy ý và đặt p T là chương trình (luôn trả về 0):$T$$p_T$

input: n
run T for n steps
if T is in halting state, output: 0
otherwise, loop for n^2 steps and output: 0

Rõ ràng là nói chung là không thể giải quyết được cho dù là thời gian tuyến tính hay thời gian bậc hai.$p_T$

Tuy nhiên, nhiều công việc đã được thực hiện trên tính toán hiệu quả của độ phức tạp của chương trình. Tôi đặc biệt thích Lý thuyết phức tạp tiềm ẩn nhằm tạo ra các ngôn ngữ, sử dụng các cấu trúc đặc biệt hoặc các loại kỷ luật, cho phép người ta chỉ viết các chương trình nằm trong một lớp phức tạp được xác định rõ. Theo những gì tôi coi là một điều kỳ diệu, những ngôn ngữ này thường được hoàn thành cho lớp học đó!

Một ví dụ đặc biệt hay được mô tả trong bài báo này của J.-Y. Marion, trong đó mô tả một ngôn ngữ mệnh lệnh nhỏ, với một kỷ luật loại lấy cảm hứng từ kỹ thuật luồng thông tin và phân tích an ninh, cho phép một đặc điểm của thuật toán trong P .

Câu hỏi bạn đặt ra và thủ thuật đếm cụ thể mà bạn mô tả là một câu hỏi kinh điển trong phân tích chương trình. Có một vấn đề lý thuyết về phân tích độ phức tạp và đó là biểu hiện thực tế về mặt tự động ước tính hiệu suất của một đoạn mã. Một phân tích tự động như vậy có một số ứng dụng từ việc phát hiện các lỗi hiệu suất đến ước tính chi phí cho một số tính toán trong đám mây.

Cody chỉ ra rằng vấn đề là không thể giải quyết được nói chung. Vấn đề này khó hơn so với việc chứng minh chấm dứt, bởi vì có được sự phức tạp ràng buộc đòi hỏi mà chương trình cũng chấm dứt. Có hai cách tiếp cận vấn đề như vậy. Một là từ phân tích chương trình. Ý tưởng về việc thêm một bộ đếm và ước tính giá trị của nó tồn tại từ những năm 70. Mã hóa này làm giảm vấn đề xác định thời gian chạy với tính toán bất biến.

Cách tiếp cận thứ hai là thiết kế một ngôn ngữ lập trình chỉ chấp nhận các chương trình có độ phức tạp giới hạn nhất định. Đây là khu vực phức tạp tính toán ngầm.

Một số tài liệu tham khảo cho cả hai lĩnh vực sau.

1. Dự án TỐC ĐỘ , là một dòng công việc phân tích chương trình cụ thể tập trung vào cách tìm giới hạn trên các quầy đã được đưa vào chương trình. Các quầy có thể đo thời gian hoặc không gian tiêu thụ.
2. Phân tích tài nguyên khấu hao đa biến , Jan Hoffman, Klaus Aehlig, Martin Hoffman, ACM TOPLAS 2012
3. Về các thuộc tính tốc độ tăng trưởng có thể quyết định của các chương trình bắt buộc , Amir Ben Amram, Sự phát triển trong tính toán ngầm tính CompExity 2010. Đây là một công việc tuyệt vời về sự phức tạp của các chương trình bắt buộc bởi các hạn chế cú pháp.