Chiều dài cạnh dài nhất của cờ lê tham lam trên các điểm phân bố đồng đều trong

Đặt là tập hợp điểm trong . Đối với bất kỳ , -spanner là đồ thị vô hướng có trọng số theo thước đo Euclidian, sao cho với hai điểm , , khoảng cách ngắn nhất trong , , là tại hầu hết các lần so với khoảng cách Euclide giữa và ,(lưu ý rằng định nghĩa này có thể dễ dàng được mở rộng sang các không gian đo tùy ý). $P$ $N$ $\mathbb{R}^d$ $t \geq 1$ $t$ $G=(P, E)$ $v$ $u$ $G$ $d(v, u)$ $t$ $v$ $u$ $|v u|$

Hãy xem xét thuật toán sau với và là đầu vào: $P$ $t$

E = empty
for every pair of points (v, u) in ascending order under |vu|
    if the shortest path in (P, E) is more than t times |vu|
        add (v, u) to E
return E

Thuật toán này tính toán cái gọi là cờ lê tham lam (hay cờ lê tham lam đường dẫn). Biểu đồ này đã được nghiên cứu đáng kể: nó tạo ra các spanners cực kỳ tốt, cả trong thực tế và lý thuyết.

Tôi quan tâm đến độ dài của cạnh dài nhất trong cờ lê tham lam nếu được phân phối đồng đều trong (trường hợp d = 2 cũng tốt). Tôi phỏng đoán chiều dài tối đa này là nhiều nhất là khoảng $P$ $[0,1]^d$ , có khả năng với một số yếu tố và yếu tố log. Phỏng đoán này được thúc đẩy bởi dữ liệu thực nghiệm. $1 / \sqrt{N}$ $d$

Lý do cho sự quan tâm của tôi là tôi có một thuật toán tính toán cờ lê tham lam một cách nhanh chóng nếu độ dài của cạnh dài nhất tương đối ngắn. Nếu điều trên là chính xác, thì điều đó có nghĩa là thuật toán của tôi có thể áp dụng cho kịch bản trên và do đó có khả năng hữu ích trong thực tế.

Tôi đã tìm thấy một số bài viết phân tích số lượng cạnh và mức độ của các loại công cụ quét khác trên các điểm phân phối ngẫu nhiên, nhưng không có bài viết nào về độ dài của cạnh dài nhất. Lý thuyết xác suất liên quan có vẻ khá phức tạp, vì vậy tôi đã hy vọng điều gì đó đã được biết trước khi tự mình thử một bằng chứng.

cg.comp-geom

— Alex mười Brink
nguồn

Trong bài viết của chúng tôi Phân phối - Xây dựng nhạy cảm của Nhà phân phối tham lam (được chấp nhận cho ESA 2014), chúng tôi chứng minh các điều sau (kết hợp Định lý 4 và Bổ đề 6):

Có tồn tại chỉ phụ thuộc vào như vậy mà cho mỗi , nếu là một tập hợp các điểm thống nhất và độc lập phân phối một cách ngẫu nhiên trong một $c_t$ $t$ $c > 0$ $P$ vuông vàđủ lớn, sau đó với xác suất ít nhất là,-spannertham lamtrênkhông có cạnh dài hơn. $\sqrt{n} \times \sqrt{n}$ $n$ $1 - n^c$ $t$ $P$ $c \cdot c_t \log n$

Ràng buộc của chúng tôi trên khá lớn, nhưng chúng tôi có bằng chứng thực nghiệm rằng ràng buộc 'bên phải' là $c_t$ . $\frac{1}{\sqrt[4]{t-1}} \cdot \frac{\log n}{\log \log n}$

— Alex mười Brink
nguồn