Người ta có thể chứng minh

Kết quả 1: Định lý Linial-Mansour-Nisan nói rằng trọng số phạm vi của các hàm được tính toán bởi các mạch $\mathsf{AC}^0$ tập trung vào các tập con có kích thước nhỏ với xác suất cao.

Kết quả 2: $\mathsf{PARITY}$ có trọng lượng phạm vi tập trung vào hệ số bậc $n$ .

Câu hỏi: Có cách nào để chứng minh (nếu có thể chứng minh được) $\mathsf{PARITY}$ không thể tính được bằng các mạch $\mathsf{AC}^0$ thông qua / sử dụng kết quả 1 và 2 không?

— Stattrav
nguồn

Đây không phải là một ứng dụng rõ ràng của định lý Linial-Mansour-Nisan sao? Làm thế nào định lý LMN được chứng minh (cụ thể, cho dù nó được chứng minh bằng lập luận xác suất hay không) là không liên quan.

— Tsuyoshi Ito

đồng thời, không phải định lý Linial-Mansour-Nisan đã được chứng minh bằng cách giả định định lý Hastad? Nó trông giống như một con chó đuổi theo đuôi của chính nó ...

— Alessandro Cosentino

Đây là cách giới hạn dưới của kích thước của một chẵn lẻ xấp xỉ mạch AC0 có nguồn gốc trong các ghi chú của Ryan O'Dellell . Xem hệ quả 32.

— Sasho Nikolov

Tôi nghĩ rằng câu hỏi thú vị hơn trong nhận xét của bạn: là mọi chức năng có phổ phạm vi tập trung vào các hệ số mức thấp được tính toán bằng các mạch AC0 kích thước nhỏ.

— Sasho Nikolov

@Strattav Sau đó, bạn có thể hỏi câu hỏi đó.

— Tyson Williams

Định lý LMN chỉ ra rằng nếu f là hàm boolean tính toán bằng mạch có kích thước M, $(f:\{-1,1\}^n \rightarrow \{-1,1\})$ $\text{AC}^0$

\sum_{S : | S | > k} \hat{f} (S)^{2} \leq 2^{- Ω (k / (\log M)^{d - 1})}

$\sum_{S:|S|> k} \hat f(S)^{2} \leq 2^{-\Omega(k/(\log M)^{d-1})}$

$\Rightarrow \hat f([n])^{2} \leq 2^{-\Omega(n/(\log M)^{d-1})}$

$\Rightarrow |\hat f([n])| \leq 2^{-\Omega(n/(\log M)^{d-1})}$

là gì, nhưng mối tương quan của f với chức năng tương đương . Hãy là phần đầu vào nơi khác với . $|\hat f([n])|$ $(\prod_{i = 1}^{n}x_i)$ $\delta$ $f$ $PARITY$

\begin{aligned} 1 - 2 δ \leq | 1 - 2 δ | & = | \hat{f} ([n]) | \leq 2^{- Ω (n / (\log M)^{d - 1})} \\ \Rightarrow δ & \geq 1 - 2^{- Ω (n / (\log M)^{d - 1})} \end{aligned}

$\begin{align} 1 -2 \delta \leq |1 - 2\delta| &= |\hat f([n])| \leq 2^{-\Omega(n/(\log M)^{d-1})}\\ \Rightarrow \delta &\geq 1 - 2^{-\Omega(n/(\log M)^{d-1})} \end{align}$

Vậy, nếu M là , cho bằng , $poly(n)$ $f$ $PARITY$

\begin{aligned} δ & \leq \frac{1}{2^{n}} \\ \Rightarrow 2^{n} & \geq 2^{(c n / (\log M)^{d - 1})} \\ \Rightarrow (\log M)^{d - 1} & \geq (c - 1) n \\ \Rightarrow M & \geq 2^{Ω (n^{1 / d - 1})} \end{aligned}

$\begin{align} \delta &\leq \frac{1}{2^n}\\ \Rightarrow 2^n &\geq 2^{(cn/(\log M)^{d-1})}\\ \Rightarrow (\log M)^{d-1} &\geq (c-1)n \\ \Rightarrow M &\geq 2^{\Omega (n^{1/d-1})} \end{align}$

Vì vậy, định lý LMN không chỉ chứng minh rằng không thể được tính bằng các mạch , mà còn cho thấy có tương quan thấp với các mạch . $PARITY$ $AC^{0}$ $PARITY$ $AC^{0}$

— Tulasi
nguồn